ເນື້ອຫາ

• ຂັ້ນຕອນ
• ສ່ວນທີ 1 ຂອງ 3: ການທົດສອບຄວາມລຽບງ່າຍ
• ສ່ວນທີ 2 ຂອງ 3: ການທົດສອບຄວາມງ່າຍດາຍເຮັດວຽກແນວໃດ
• ສ່ວນທີ 3 ຂອງ 3: ການ ນຳ ໃຊ້ທິດສະດີທີ່ເຫຼືອຢູ່ຂອງຈີນ
• ຄໍາແນະນໍາ
• ເຈົ້າ​ຕ້ອງ​ການ​ຫຍັງ

ຕົວເລກຫຼັກແມ່ນຕົວເລກທີ່ສາມາດແບ່ງໄດ້ດ້ວຍຕົວຂອງມັນເອງແລະໂດຍ 1. ຕົວເລກອື່ນ All ທັງareົດເອີ້ນວ່າຕົວເລກປະສົມ. ມີຫຼາຍວິທີໃນການກໍານົດວ່າຈໍານວນໃດເປັນອັນດັບ ໜຶ່ງ, ແລະເຂົາເຈົ້າທັງhaveົດມີຂໍ້ດີແລະຂໍ້ເສຍຂອງຕົນເອງ. ໃນອີກດ້ານ ໜຶ່ງ, ບາງວິທີການແມ່ນຖືກຕ້ອງທີ່ສຸດ, ແຕ່ມັນຂ້ອນຂ້າງສັບສົນຖ້າເຈົ້າປະຕິບັດກັບຕົວເລກໃຫຍ່. ໃນທາງກົງກັນຂ້າມ, ມີຫຼາຍວິທີທີ່ໄວກວ່າ, ແຕ່ມັນສາມາດນໍາໄປສູ່ຜົນໄດ້ຮັບທີ່ບໍ່ຖືກຕ້ອງ. ການເລືອກວິທີການທີ່ເappropriateາະສົມແມ່ນຂຶ້ນກັບວ່າຕົວເລກທີ່ເຈົ້າ ກຳ ລັງເຮັດວຽກ ນຳ ມີຫຼາຍປານໃດ.

ຂັ້ນຕອນ

ສ່ວນທີ 1 ຂອງ 3: ການທົດສອບຄວາມລຽບງ່າຍ

ຫມາຍ​ເຫດ​: ໃນສູດທັງົດ n otesາຍເຖິງຕົວເລກທີ່ຈະກວດສອບ.

1. 1 ການນັບ ຈຳ ນວນຕົວຫານ. ມັນພຽງພໍທີ່ຈະແບ່ງອອກ n ເຖິງຕົວເລກຕົ້ນຕໍທັງfromົດຈາກ 2 ຫາຄ່າປັດເສດ (${ displaystyle { sqrt {n}}}$).
2. 2 ທິດສະດີເລັກນ້ອຍຂອງ Fermat. ຄຳ ເຕືອນ: ບາງຄັ້ງການທົດສອບຈະລະບຸຕົວເລກປະສົມທີ່ບໍ່ຖືກຕ້ອງເປັນຫຼັກ, ແມ່ນແຕ່ສໍາລັບຄ່າທັງofົດຂອງ a.
   • ໃຫ້ເລືອກຕົວເລກເຕັມ ກເຊັ່ນວ່າ 2 ≤ a ≤ n - 1.
   • ຖ້າ a (mod n) = a (mod n) ຈາກນັ້ນຈໍານວນອາດຈະເປັນຫຼັກ. ຖ້າຄວາມສະເີພາບບໍ່ພໍໃຈ, ຕົວເລກ n ແມ່ນປະສົມ.
   • ກວດເບິ່ງຄວາມສະເີພາບທີ່ໃຫ້ມາ ສຳ ລັບຫຼາຍຄ່າ ກເພື່ອເພີ່ມຄວາມເປັນໄປໄດ້ທີ່ຕົວເລກທີ່ຖືກທົດສອບນັ້ນເປັນອັນດັບຕົ້ນ indeed.
3. 3 ການທົດສອບ Miller-Rabin. ຄຳ ເຕືອນ: ບາງຄັ້ງ, ເຖິງແມ່ນວ່າຫາຍາກ, ສຳ ລັບຫຼາຍຄ່າຂອງ a, ການທົດສອບຈະລະບຸຕົວເລກປະສົມທີ່ບໍ່ຖືກຕ້ອງເປັນຫຼັກ.
   • ຈົ່ງຊອກຫາປະລິມານ s ແລະ d ເຊັ່ນນັ້ນ ${ displaystyle n-1 = 2 ^ {s} * d}$.
   • ເລືອກ ຈຳ ນວນເຕັມ ກ ຢູ່ໃນຂອບເຂດ 2 ≤ a ≤ n - 1.
   • ຖ້າ a = +1 (mod n) ຫຼື -1 (mod n), ແລ້ວ n ແມ່ນອາດຈະເປັນຫຼັກ. ໃນກໍລະນີນີ້, ໄປຫາຜົນການທົດສອບ. ຖ້າຄວາມສະເີພາບບໍ່ຍຶດຖື, ໄປຫາຂັ້ນຕອນຕໍ່ໄປ.
   • ຮຽບຮ້ອຍ ຄຳ ຕອບຂອງເຈົ້າ (${ displaystyle a ^ {2d}}$). ຖ້າເຈົ້າໄດ້ -1 (mod n), ແລ້ວ n ແມ່ນອາດຈະເປັນຈໍານວນຫຼັກ. ໃນກໍລະນີນີ້, ໄປຫາຜົນການທົດສອບ. ຖ້າຄວາມສະເີພາບລົ້ມເຫລວ, ໃຫ້ເຮັດຊ້ ຳ ອີກ (${ displaystyle a ^ {4d}}$ ແລະອື່ນ on) ຈົນກ່ວາ ${ displaystyle a ^ {2 ^ {s-1} d}}$.
   • ຖ້າຢູ່ໃນຂັ້ນຕອນໃດນຶ່ງຫຼັງຈາກວາງຈໍານວນອື່ນທີ່ບໍ່ແມ່ນ ${ displaystyle pm 1}$ (mod n), ເຈົ້າໄດ້ຮັບ +1 (mod n), ດັ່ງນັ້ນ n ຈຶ່ງເປັນຕົວເລກປະສົມ. ຖ້າ ${ displaystyle a ^ {2 ^ {s-1} d} neq pm 1}$ (mod n), ຈາກນັ້ນ n ບໍ່ແມ່ນຫຼັກ.
   • ຜົນການທົດສອບ: ຖ້າ n ຜ່ານການທົດສອບ, ໃຫ້ມັນຊ້ ຳ ຄືນຄ່າອື່ນ other ກເພື່ອເພີ່ມຄວາມັ້ນໃຈ.

ສ່ວນທີ 2 ຂອງ 3: ການທົດສອບຄວາມງ່າຍດາຍເຮັດວຽກແນວໃດ

1. 1 ການນັບ ຈຳ ນວນຕົວຫານ. ຕາມຄໍານິຍາມ, ຈໍານວນ n ແມ່ນງ່າຍດາຍພຽງແຕ່ຖ້າມັນບໍ່ສາມາດຫານໄດ້ດ້ວຍ 2 ແລະເລກເຕັມອື່ນ except ຍົກເວັ້ນ 1 ແລະຕົວມັນເອງ. ສູດຂ້າງເທິງອະນຸຍາດໃຫ້ເຈົ້າລຶບຂັ້ນຕອນທີ່ບໍ່ ຈຳ ເປັນອອກແລະປະຫຍັດເວລາ: ຕົວຢ່າງ, ຫຼັງຈາກກວດເບິ່ງວ່າຕົວເລກໃດ ໜຶ່ງ ຖືກຫານດ້ວຍ 3, ບໍ່ ຈຳ ເປັນຕ້ອງກວດເບິ່ງວ່າມັນສາມາດຫານດ້ວຍ 9 ໄດ້ຫຼືບໍ່.
   • ພື້ນທີ່ (x) ເຮັດວຽກຮອບ x ຫາ ຈຳ ນວນເຕັມທີ່ໃກ້ທີ່ສຸດ ໜ້ອຍ ກວ່າຫຼືເທົ່າກັບ x.
2. 2 ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບເລກຄະນິດຄິດໄລ່. ຄຳ ສັ່ງ "x mod y" (mod ແມ່ນຕົວຫຍໍ້ຂອງ ຄຳ ນາມ "modulo", ນັ້ນຄື "module") meansາຍຄວາມວ່າ "ຫານ x ດ້ວຍ y ແລະຊອກຫາສ່ວນທີ່ເຫຼືອ." ເວົ້າອີກຢ່າງ ໜຶ່ງ, ໃນຕົວເລກເລກຄະນິດ, ເມື່ອເຖິງມູນຄ່າສະເພາະ, ເຊິ່ງເອີ້ນວ່າ ໂມດູນ, ຕົວເລກ "ຫັນ" ໃຫ້ເປັນສູນອີກຄັ້ງ. ຕົວຢ່າງ, ໂມງນັບຖອຍຫຼັງດ້ວຍໂມດູນ 12: ມັນສະແດງ 10, 11 ແລະ 12 ຊົ່ວໂມງ, ແລະຈາກນັ້ນກັບຄືນມາເປັນ 1.
   • ເຄື່ອງຄິດເລກຫຼາຍອັນມີລະຫັດ mod. ຕອນທ້າຍຂອງພາກນີ້ສະແດງໃຫ້ເຈົ້າເຫັນວິທີຄິດໄລ່ຟັງຊັນນີ້ດ້ວຍຕົວເລກໃຫຍ່.
3. 3 ຮຽນຮູ້ກ່ຽວກັບຄວາມຜິດພາດຂອງທິດສະດີນ້ອຍຂອງ Fermat. ຕົວເລກທັງforົດທີ່ບໍ່ໄດ້ຕອບສະ ໜອງ ເງື່ອນໄຂການທົດສອບແມ່ນປະສົມກັນໄດ້, ແຕ່ຕົວເລກທີ່ເຫຼືອແມ່ນພຽງແຕ່ ອາດຈະເປັນ ແມ່ນງ່າຍດາຍ. ຖ້າເຈົ້າຕ້ອງການຫຼີກເວັ້ນຜົນໄດ້ຮັບທີ່ບໍ່ຖືກຕ້ອງ, ໃຫ້ຊອກຫາ n ຢູ່ໃນລາຍການ "ຕົວເລກ Carmichael" (ຕົວເລກປະສົມທີ່ຕອບສະ ໜອງ ການທົດສອບນີ້) ແລະ "Fermat pseudoprime numbers" (ຕົວເລກເຫຼົ່ານີ້ຕອບສະ ໜອງ ໄດ້ເງື່ອນໄຂການທົດສອບສໍາລັບບາງຄ່າເທົ່ານັ້ນ ກ).
4. 4 ຖ້າສະດວກ, ໃຊ້ການທົດສອບ Miller-Rabin. ເຖິງແມ່ນວ່າວິທີການນີ້ແມ່ນຫຍຸ້ງຍາກຫຼາຍສໍາລັບການຄິດໄລ່ດ້ວຍຕົນເອງ, ແຕ່ມັນມັກຈະຖືກນໍາໃຊ້ໃນໂປຣແກມຄອມພິວເຕີ. ມັນສະ ໜອງ ຄວາມໄວທີ່ຍອມຮັບໄດ້ແລະມີຄວາມຜິດພາດ ໜ້ອຍ ກວ່າວິທີການຂອງ Fermat. ຕົວເລກປະສົມຈະບໍ່ຖືກເອົາເປັນຕົວເລກຫຼັກຖ້າການ ຄຳ ນວນຖືກປະຕິບັດດ້ວຍຫຼາຍກວ່າ¼ຄ່າ ກ... ຖ້າເຈົ້າສຸ່ມເລືອກຄ່າຕ່າງກັນ ກ ແລະສໍາລັບພວກມັນທັງtheົດການທົດສອບຈະໃຫ້ຜົນໄດ້ຮັບໃນທາງບວກ, ພວກເຮົາສາມາດສົມມຸດດ້ວຍຄວາມເຊື່ອdegreeັ້ນໃນລະດັບສູງພໍສົມຄວນ n ເປັນຕົວເລກ ສຳ ຄັນ.
5. 5 ສຳ ລັບຕົວເລກໃຫຍ່, ໃຫ້ໃຊ້ເລກຄະນິດຄິດໄລ່. ຖ້າເຈົ້າບໍ່ມີເຄື່ອງຄິດເລກ mod ທີ່ມີປະໂຫຍດ, ຫຼືເຄື່ອງຄິດເລກບໍ່ໄດ້ຖືກອອກແບບເພື່ອຈັດການກັບຕົວເລກຂະ ໜາດ ໃຫຍ່ດັ່ງກ່າວ, ໃຊ້ຄຸນສົມບັດພະລັງງານແລະເລກຄະນິດຄິດໄລ່ເພື່ອເຮັດໃຫ້ການຄິດໄລ່ງ່າຍຂຶ້ນ. ຂ້າງລຸ່ມນີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງສໍາລັບການ ${ displaystyle 3 ^ {50}}$ ໂມດ 50:
   • ຂຽນ ສຳ ນວນຄືນໃin່ໃນຮູບແບບທີ່ສະດວກກວ່າ: ${ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})}$ mod 50. ການຄິດໄລ່ດ້ວຍມືອາດຈະຕ້ອງການໃຫ້ມີຄວາມງ່າຍຂຶ້ນຕື່ມ.
   • ${ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})}$ mod 50 = ${ displaystyle (3 ^ {25}}$ ໂມດ 50 ${ displaystyle * 3 ^ {25}}$ mod 50) mod 50. ໃນທີ່ນີ້ພວກເຮົາໄດ້ຄໍານຶງເຖິງຄຸນສົມບັດຂອງການຄູນແບບຈໍາລອງ.
   • ${ displaystyle 3 ^ {25}}$ ໂມດູນ 50 = 43.
   • ${ displaystyle (3 ^ {25}}$ ໂມດ 50 ${ displaystyle * 3 ^ {25}}$ mod 50) ໂມດ 50 = ${ displaystyle (43 * 43)}$ ໂມດ 50
   • ${ displaystyle = 1849}$ ໂມດ 50
   • ${ displaystyle = 49}$.

ສ່ວນທີ 3 ຂອງ 3: ການ ນຳ ໃຊ້ທິດສະດີທີ່ເຫຼືອຢູ່ຂອງຈີນ

1. 1 ເອົາສອງຕົວເລກ. ໜຶ່ງ ໃນຕົວເລກຕ້ອງປະສົມກັນ, ແລະຕົວເລກອີກອັນ ໜຶ່ງ ຕ້ອງແມ່ນຕົວເລກທີ່ເຈົ້າຕ້ອງການທົດສອບເພື່ອຄວາມລຽບງ່າຍ.
   • Number1 = 35
   • Number2 = 97
2. 2 ເລືອກສອງຄ່າທີ່ໃຫຍ່ກວ່າສູນແລະຕາມ ລຳ ດັບ, ໜ້ອຍ ກວ່າຕົວເລກ Number1 ແລະ Number2. ຄ່າເຫຼົ່ານີ້ຈະຕ້ອງບໍ່ຄືກັນ.
   • ມູນຄ່າ 1 = 1
   • ມູນຄ່າ 2 = 2
3. 3 ຄິດໄລ່ MMI (ການຄູນເລກຄະນິດສາດປີ້ນກັບ) ສໍາລັບເລກ 1 ແລະຕົວເລກ 2.
   • ຄິດໄລ່ MMI
     • MMI1 = Number2 ^ -1 Mod Number1
     • MMI2 = Number1 ^ -1 Mod Number2
   • ສໍາລັບຕົວເລກທີ່ສໍາຄັນເທົ່ານັ້ນ (ອັນນີ້ຈະໃຫ້ຕົວເລກສໍາລັບຕົວເລກປະສົມ, ແຕ່ມັນຈະບໍ່ແມ່ນ MMI ຂອງລາວ):
     • MMI1 = (Number2 ^ (Number1-2))% Number1
     • MMI2 = (Number1 ^ (Number2-2))% Number2
   • ຍົກ​ຕົວ​ຢ່າງ:
     • MMI1 = (97 ^ 33)% 35
     • MMI2 = (35 ^ 95)% 97
4. 4 ສ້າງຕາຕະລາງສໍາລັບແຕ່ລະ MMI ລົງໄປຫາໂມດູນ log2:
   • ສໍາລັບ MMI1
     • F (1) = Number2% Number1 = 97% 35 = 27
     • F (2) = F (1) * F (1)% Number1 = 27 * 27% 35 = 29
     • F (4) = F (2) * F (2)% Number1 = 29 * 29% 35 = 1
     • F (8) = F (4) * F (4)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (16) = F (8) * F (8)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (32) = F (16) * F (16)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
   • ຄິດໄລ່ຕົວເລກຄູ່ 1 - 2
     • 35 -2 = 33 (10001) ຖານ 2
     • MMI1 = F (33) = F (32) * F (1) mod 35
     • MMI1 = F (33) = 1 * 27 mod 35
     • MMI1 = 27
   • ສຳ ລັບ MMI2
     • F (1) = Number1% Number2 = 35% 97 = 35
     • F (2) = F (1) * F (1)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (4) = F (2) * F (2)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (8) = F (4) * F (4)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (16) = F (8) * F (8)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (32) = F (16) * F (16)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (64) = F (32) * F (32)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (128) = F (64) * F (64)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
   • ຄິດໄລ່ເລກຄູ່ 2 - 2
     • 97 - 2 = 95 = (1011111) ຖານ 2
     • MMI2 = ((((F (64) * F (16)% 97) * F (8)% 97) * F (4)% 97) * F (2)% 97) * F (1)% 97)
     • MMI2 = ((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
     • MMI2 = 61
5. 5 ຄິດໄລ່ (Value1 * Number2 * MMI1 + Value2 * Number1 * MMI2)% (Number1 * Number2)
   • ຕອບ = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
   • ຕອບ = (2619 + 4270)% 3395
   • ຄໍາຕອບ = 99
6. 6 ກວດເບິ່ງວ່າເລກ 1 ບໍ່ແມ່ນຫຼັກ
   • ຄິດໄລ່ (ຄໍາຕອບ - ຄ່າ 1)% Number1
   • 99 – 1 % 35 = 28
   • ເນື່ອງຈາກ 28 ໃຫຍ່ກວ່າ 0, 35 ບໍ່ແມ່ນຕົວເລກຫຼັກ.
7. 7 ກວດເບິ່ງວ່າເລກ 2 ເປັນຫຼັກ.
   • ຄິດໄລ່ (ຄໍາຕອບ - ຄ່າ 2)% ຈໍານວນ 2
   • 99 – 2 % 97 = 0
   • ເນື່ອງຈາກ 0 ເປັນ 0, 97 ເປັນໄປໄດ້ຫຼາຍທີ່ສຸດເປັນຕົວເລກຫຼັກ.
8. 8 ເຮັດຊ້ ຳ ຂັ້ນຕອນທີ 1 ຫາ 7 ຢ່າງ ໜ້ອຍ ອີກສອງຄັ້ງ.
   • ຖ້າເຈົ້າໄດ້ 0 ໃນຂັ້ນຕອນທີ 7:
     • ໃຊ້ຕົວເລກ 1 ອັນອື່ນຖ້າNumberາຍເລກ 1 ບໍ່ແມ່ນຕົວເລກຫຼັກ.
     • ໃຊ້ເລກ 1 ອັນອື່ນຖ້າເລກ 1 ເປັນຫຼັກ. ໃນກໍລະນີນີ້, ເຈົ້າຄວນຈະໄດ້ 0 ໃນຂັ້ນຕອນທີ 6 ແລະ 7.
     • ໃຊ້ຄວາມ1າຍ 1 ແລະຄວາມ2າຍ 2 ທີ່ແຕກຕ່າງ.
   • ຖ້າຢູ່ໃນຂັ້ນຕອນ 7 ເຈົ້າໄດ້ຮັບ 0 ສະເthenີ, ຫຼັງຈາກນັ້ນຕົວເລກ 2 ມີແນວໂນ້ມທີ່ຈະເປັນອັນດັບ ໜຶ່ງ.
   • ຂັ້ນຕອນທີ 1 ຫາ 7 ອາດຈະເຮັດໃຫ້ເກີດຄວາມຜິດພາດຖ້າNumberາຍເລກ 1 ບໍ່ແມ່ນຕົວເລກຫຼັກແລະ2າຍເລກ 2 ເປັນຕົວຫານຂອງເລກ 1. ວິທີການທີ່ອະທິບາຍເຮັດວຽກຢູ່ໃນທຸກກໍລະນີເມື່ອທັງສອງຕົວເລກເປັນຫຼັກ.
   • ເຫດຜົນທີ່ເຈົ້າຈໍາເປັນຕ້ອງເຮັດຂັ້ນຕອນ 1 ຫາ 7 ຄືນໃis່ເພາະວ່າໃນບາງກໍລະນີ, ເຖິງແມ່ນວ່າຕົວເລກ 1 ແລະເລກ 2 ບໍ່ແມ່ນຫຼັກ, ໃນຂັ້ນຕອນ 7 ເຈົ້າຈະໄດ້ 0 (ສໍາລັບຕົວເລກດຽວຫຼືທັງສອງ). ນີ້ບໍ່ຄ່ອຍເກີດຂຶ້ນ.ເລືອກ Number1 ອື່ນ (ປະສົມ), ແລະຖ້າ Number2 ບໍ່ແມ່ນຕົວເລກ, ຫຼັງຈາກນັ້ນ Number2 ຈະບໍ່ເທົ່າກັບສູນໃນຂັ້ນຕອນທີ 7 (ຍົກເວັ້ນກໍລະນີທີ່ Number1 ເປັນຕົວຫານຂອງ Number2 - ໃນທີ່ນີ້ຕົວເລກຈະເທົ່າສູນໃນຂັ້ນຕອນ 7).

ຄໍາແນະນໍາ

• ຕົວເລກຫຼັກຈາກ 168 ເຖິງ 1000: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211 , 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359 , 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509 , 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673 , 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853 , 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.
• ເຖິງແມ່ນວ່າການທົດສອບແຮງສັດເປັນການທົດສອບທີ່ ໜ້າ ເບື່ອເມື່ອເຮັດວຽກກັບຕົວເລກໃຫຍ່, ແຕ່ມັນມີປະສິດທິພາບພໍສົມຄວນສໍາລັບຕົວເລກນ້ອຍ. ແມ່ນແຕ່ໃນກໍລະນີຕົວເລກໃຫຍ່, ເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍການທົດສອບຕົວຫານຂະ ໜາດ ນ້ອຍ, ແລະຈາກນັ້ນຍ້າຍໄປຫາວິທີການທີ່ຊັບຊ້ອນກວ່າເພື່ອກວດສອບຄວາມງ່າຍຂອງຕົວເລກ (ຖ້າບໍ່ພົບຕົວຫານຂະ ໜາດ ນ້ອຍ).

ເຈົ້າ​ຕ້ອງ​ການ​ຫຍັງ

• ເຈ້ຍ, ປາກກາຫຼືຄອມພິວເຕີ