ການແກ້ສົມຜົນສົມຜົນແບບ trigonometric

ເນື້ອຫາ

ເພື່ອກ້າວ

ສົມຜົນ trigonometric ແມ່ນສົມຜົນທີ່ມີ ໜຶ່ງ ຫຼືຫຼາຍ ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric ຂອງຕົວແປຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ trigonometric x. ການແກ້ໄຂ ສຳ ລັບ x ໝາຍ ເຖິງການຊອກຫາຄ່າຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ trigonometric ທີ່ ຕຳ ແໜ່ງ trigonometric ເຮັດໃຫ້ສົມຜົນຂອງ trigonometric ເປັນຄວາມຈິງ.

ຄຳ ຕອບຫລືຄຸນຄ່າຂອງເສັ້ນທາງແກ້ໄຂແມ່ນສະແດງອອກເປັນອົງສາຫລື radians. ຕົວຢ່າງ:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 ອົງສາ; x = 37.12 ອົງສາ; x = 178.37 ອົງສາ

ໝາຍ ເຫດ: ຢູ່ໃນວົງກົມຂອງ ໜ່ວຍ ງານ, ໜ້າ ທີ່ຂອງເສັ້ນໂຄ້ງຂອງເສັ້ນໂຄ້ງໃດ ໜຶ່ງ ເທົ່າກັບ ຕຳ ແໜ່ງ trigonometric ຂອງມຸມທີ່ກົງກັນ. ແຜ່ນປ້າຍວົງກົມຫົວ ໜ່ວຍ ກຳ ນົດ ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric ທັງ ໝົດ ຂອງເສັ້ນໂຄ້ງຕົວປ່ຽນ x. ມັນຍັງຖືກ ນຳ ໃຊ້ເປັນຫຼັກຖານໃນການແກ້ໄຂສົມຜົນຂອງ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານແລະຄວາມບໍ່ສະ ເໝີ ພາບ.
ຕົວຢ່າງຂອງສົມຜົນ trigonometric:
- sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
- cos 3 ເທົ່າ + ບາບ 2 ເທົ່າ = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

ແຜ່ນປ້າຍວົງກົມຫົວ ໜ່ວຍ.
- ນີ້ແມ່ນວົງມົນທີ່ມີ Radius = 1, ບ່ອນທີ່ O ແມ່ນຕົ້ນກໍາເນີດ. ວົງກົມ ໜ່ວຍ ກຳ ນົດ 4 ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric ຕົ້ນຕໍຂອງຕົວປ່ຽນເສັ້ນໂຄ້ງ x, ເຊິ່ງວົງກົມມັນກົງກັນຂ້າມ.
- ເມື່ອເສັ້ນໂຄ້ງທີ່ມີຄ່າ x ແຕກຕ່າງກັນໄປຕາມວົງກົມ ໜ່ວຍ, ຫຼັງຈາກນັ້ນຖືວ່າ:
- ແກນ OAx ຕັ້ງຄ່າຕາມລວງນອນ f (x) = cos x.
- ແກນຕັ້ງ OBy ຕັ້ງຄ່າ trigonometric function f (x) = sin x.
- ແກນຕັ້ງ AT ແມ່ນ ກຳ ນົດ ຕຳ ລາ trigonometric f (x) = tan x.
- ແກນແນວນອນ BU ກຳ ນົດ ຕຳ ລາ trigonometric f (x) = cot x.

ວົງກົມຂອງ ໜ່ວຍ ງານຍັງຖືກ ນຳ ໃຊ້ເພື່ອແກ້ໄຂສົມຜົນ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານແລະຄວາມບໍ່ສະ ເໝີ ພາບຂອງ trigonometric ຕາມມາດຕະຖານໂດຍພິຈາລະນາ ຕຳ ແໜ່ງ ຕ່າງໆຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ x ຢູ່ໃນວົງກົມ.

ເພື່ອກ້າວ

ເຂົ້າໃຈວິທີການແກ້ໄຂບັນຫາ.
- ເພື່ອແກ້ສົມຜົນກັບສົມຜົນຂອງ trigonometric ທ່ານຈະປ່ຽນມັນເຂົ້າໄປໃນສົມຜົນ trigonometric ໜຶ່ງ ຫລືຫຼາຍພື້ນຖານ. ການແກ້ໄຂສົມຜົນຂອງ trigonometric ສຸດທ້າຍກໍ່ຈະມີຜົນໃນການແກ້ໄຂ 4 ສົມຜົນ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານ.
ຮູ້ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນແບບ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານ.
- ມັນມີ 4 ສົມຜົນ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານ:
- sin x = ກ; cos x = ກ
- tan x = a; cot x = ກ
- ທ່ານສາມາດແກ້ໄຂສົມຜົນ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານໂດຍການສຶກສາ ຕຳ ແໜ່ງ ຕ່າງໆຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ x ຢູ່ໃນຮູບວົງມົນ trigonometric ແລະໂດຍການ ນຳ ໃຊ້ຕາຕະລາງການປ່ຽນ trigonometric (ຫຼືເຄື່ອງຄິດໄລ່). ເພື່ອເຂົ້າໃຈຢ່າງເຕັມທີ່ກ່ຽວກັບວິທີແກ້ໄຂບັນດາສົມຜົນ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານທີ່ຄ້າຍຄືກັນນີ້, ໃຫ້ອ່ານປື້ມຕໍ່ໄປນີ້: "Trigonometry: Solving Trigonometric Equations and inequalities" (Amazon E-book 2010).
- ຕົວຢ່າງ 1. ແກ້ໄຂ ສຳ ລັບບາບ x = 0.866. ຕາຕະລາງການປ່ຽນໃຈເຫລື້ອມໃສ (ຫລືເຄື່ອງຄິດໄລ່) ໃຫ້ ຄຳ ຕອບ: x = Pi / 3. ແຜ່ນປ້າຍວົງກົມ trigonometric ໃຫ້ເສັ້ນໂຄ້ງອີກເສັ້ນ ໜຶ່ງ (2Pi / 3) ທີ່ມີມູນຄ່າດຽວກັນກັບຊີນ (0.866). ແຜ່ນປ້າຍວົງກົມ trigonometric ຍັງໃຫ້ ຄຳ ຕອບທີ່ບໍ່ມີຕົວຕົນທີ່ເອີ້ນວ່າ ຄຳ ຕອບຂະຫຍາຍ.
- x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, ແລະ x2 = 2Pi / 3. (ຕອບກັບພາຍໃນໄລຍະເວລາ (0, 2Pi))
- x1 = Pi / 3 + 2k Pi, ແລະ x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (ຄຳ ຕອບລະອຽດ).
- ຕົວຢ່າງ 2. ການແກ້ໄຂ: cos x = -1/2. ເຄື່ອງຄິດໄລ່ໃຫ້ x = 2 Pi / 3. ແຜ່ນປ້າຍວົງກົມ trigonometric ຍັງໃຫ້ x = -2Pi / 3.
- x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, ແລະ x2 = - 2Pi / 3. (ຄຳ ຕອບ ສຳ ລັບໄລຍະເວລາ (0, 2Pi))
- x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, ແລະ x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (ຄຳ ຕອບຂະຫຍາຍ)
- ຕົວຢ່າງ 3. ການແກ້ໄຂ: tan (x - Pi / 4) = 0.
- x = Pi / 4; (ຕອບ)
- x = Pi / 4 + k Pi; (ຄຳ ຕອບຂະຫຍາຍ)
- ຕົວຢ່າງ 4. ການແກ້ໄຂ: cot 2x = 1.732. ເຄື່ອງຄິດໄລ່ແລະຮູບວົງມົນ trigonometric ໃຫ້:
- x = Pi / 12; (ຕອບ)
- x = Pi / 12 + k Pi; (ຄຳ ຕອບຂະຫຍາຍ)
ຮຽນຮູ້ການຫັນປ່ຽນທີ່ ນຳ ໃຊ້ໃນການແກ້ໄຂສົມຜົນແບບ trigonometric.
- ເພື່ອປ່ຽນສົມຜົນ trigonometric ທີ່ໃຫ້ກັບສົມຜົນ trigonometric ມາດຕະຖານ, ໃຊ້ການສັບປ່ຽນພຶດຊະຄະນິດມາດຕະຖານ (ປັດໄຈປັດໄຈທົ່ວໄປ, polynomials ... ), ຄຳ ນິຍາມແລະຄຸນສົມບັດຂອງ ຕຳ ແໜ່ງ trigonometric ແລະຕົວຊີ້ວັດ trigonometric. ມີປະມານ 31, 14 ໃນນັ້ນແມ່ນຕົວຕົນຂອງ trigonometric, ແຕ່ວັນທີ 19 ເຖິງ 31, ຍັງເອີ້ນວ່າຕົວຕົນຂອງການປ່ຽນແປງ, ເພາະວ່າມັນຖືກ ນຳ ໃຊ້ເຂົ້າໃນການປ່ຽນສົມຜົນຂອງ trigonometric. ເບິ່ງປື້ມຂ້າງເທິງ.
- ຕົວຢ່າງ 5: ສົມຜົນ trigonometric: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ສາມາດປ່ຽນເປັນຜະລິດຕະພັນຂອງສົມຜົນ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານໂດຍໃຊ້ຕົວຕົນຂອງ trigonometric: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. ສົມຜົນ trigonometric ພື້ນຖານທີ່ຈະແກ້ໄຂຄື: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; ແລະ cos (x / 2) = 0.
ຊອກຫາເສັ້ນໂຄ້ງທີ່ ຕຳ ແໜ່ງ trigonometric ຮູ້.
- ກ່ອນທີ່ທ່ານຈະສາມາດຮຽນຮູ້ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນ trigonometric, ທ່ານ ຈຳ ເປັນຕ້ອງຮູ້ວິທີທີ່ຈະຊອກຫາເສັ້ນໂຄ້ງໂດຍໄວເຊິ່ງ ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric ແມ່ນຮູ້. ຄ່າການປ່ຽນແປງຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ (ຫລືມຸມ) ສາມາດຖືກ ກຳ ນົດດ້ວຍຕາຕະລາງ trigonometric ຫຼືເຄື່ອງຄິດໄລ່.
- ຕົວຢ່າງ: ການແກ້ໄຂ ສຳ ລັບ cos x = 0.732. ເຄື່ອງຄິດໄລ່ໃຫ້ວິທີແກ້ໄຂ x = 42.95 ອົງສາ. ແຜ່ນປ້າຍວົງກົມຫນ່ວຍບໍລິການໃຫ້ເສັ້ນໂຄ້ງອື່ນໆທີ່ມີມູນຄ່າດຽວກັນກັບ cosine.
ແຕ້ມຮູບຂອງ ຄຳ ຕອບຢູ່ໃນວົງກົມຂອງຫົວ ໜ່ວຍ.
- ທ່ານສາມາດສ້າງເສັ້ນສະແດງເພື່ອສະແດງວິທີແກ້ໄຂໃນວົງມົນຂອງຫົວ ໜ່ວຍ. ຈຸດສຸດທ້າຍຂອງເສັ້ນໂຄ້ງເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນຮູບຫຼາຍແຈປົກກະຕິຢູ່ໃນວົງກົມ trigonometric. ບາງຕົວຢ່າງ:
- ຈຸດຈົບຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ x = Pi / 3 + k. Pi / 2 ແມ່ນຮູບສີ່ຫລ່ຽມມົນຢູ່ເທິງວົງກົມຫົວ ໜ່ວຍ.
- ເສັ້ນໂຄ້ງຂອງ x = Pi / 4 + k.Pi / 3 ແມ່ນຕົວແທນໂດຍການປະສານງານຂອງ hexagon ໃນວົງມົນຂອງ ໜ່ວຍ.
ຮຽນຮູ້ວິທີການແກ້ບັນຫາສົມຜົນແບບ trigonometric.
- ຖ້າສົມຜົນຂອງ trigonometric ມີພຽງແຕ່ ຕຳ ແໜ່ງ trigonometric ໜຶ່ງ ດຽວ, ແກ້ໄຂມັນເປັນສົມຜົນ trigonometric ມາດຕະຖານ. ຖ້າສົມຜົນທີ່ປະກອບມີສອງຫຼືຫຼາຍກວ່າ ຕຳ ແໜ່ງ trigonometric, ມີ 2 ວິທີການແກ້ໄຂ, ຂື້ນກັບຕົວເລືອກ ສຳ ລັບການປ່ຽນສົມຜົນ.
  - A. ວິທີການ 1.
- ປ່ຽນສົມຜົນຂອງ trigonometric ກັບຜະລິດຕະພັນຂອງຮູບແບບ: f (x) .g (x) = 0 ຫຼື f (x) .g (x) .h (x) = 0, ບ່ອນທີ່ f (x), g (x) ແລະ h (x) ແມ່ນສົມຜົນ trigonometric ຂັ້ນພື້ນຖານ.
- ຕົວຢ່າງ 6. ແກ້: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
- ວິທີແກ້ໄຂ. ແທນ sin 2x ໃນສົມຜົນໂດຍໃຊ້ຕົວຕົນ: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
- cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. ຫຼັງຈາກນັ້ນແກ້ໄຂ 2 ຕຳ ແໜ່ງ trigonometric ມາດຕະຖານ: cos x = 0, ແລະ (sin x + 1) = 0.
- ຕົວຢ່າງ 7. ແກ້: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
- ວິທີແກ້ໄຂ: ແປງສິ່ງນີ້ໃຫ້ເປັນຜະລິດຕະພັນ, ໂດຍ ນຳ ໃຊ້ຕົວຊີ້ວັດຂອງ trigonometric: cos 2x (2cos x + 1) = 0. ດຽວນີ້ແກ້ໄຂ 2 ສົມຜົນ trigonometric ພື້ນຖານ: cos 2x = 0, ແລະ (2cos x + 1) = 0.
- ຕົວຢ່າງ 8. ການແກ້ໄຂ: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
- ວິທີແກ້ໄຂ: ແປງສິ່ງນີ້ໃຫ້ເປັນຜະລິດຕະພັນ, ໂດຍ ນຳ ໃຊ້ຕົວຊີ້ວັດຂອງ trigonometric: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. ດຽວນີ້ແກ້ໄຂ 2 ສົມຜົນ trigonometric ພື້ນຖານ: cos 2x = 0, ແລະ (2sin x + 1) = 0.
  - B. ວິທີການ 2.
- ແປງສົມຜົນ trig ກັບສົມຜົນ trig ທີ່ມີພຽງແຕ່ຟັງຊັນທີ່ເປັນເອກະລັກ ໜຶ່ງ ດຽວເປັນຕົວແປ. ມີ ຄຳ ແນະ ນຳ ບາງຢ່າງກ່ຽວກັບວິທີເລືອກຕົວແປທີ່ ເໝາະ ສົມ. ຕົວແປທົ່ວໄປແມ່ນ: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t ແລະ tan (x / 2) = t.
- ຕົວຢ່າງ 9. ການແກ້ໄຂ: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
- ວິທີແກ້ໄຂ. ໃນສົມຜົນ, ທົດແທນ (cos ^ 2 ເທົ່າ) ດ້ວຍ (1 - sin ^ 2 ເທົ່າ), ແລະງ່າຍສົມຜົນ:
- 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. ດຽວນີ້ໃຊ້ sin x = t. ສົມຜົນຈະກາຍເປັນ: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. ນີ້ແມ່ນສົມຜົນສີ່ຫລ່ຽມມີ 2 ຮາກ: t1 = -1 ແລະ t2 = 9/5. ພວກເຮົາສາມາດປະຕິເສດ t2 ທີສອງ, ເພາະວ່າ> 1. ດຽວນີ້ແກ້ໄຂ ສຳ ລັບ: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
- ຕົວຢ່າງ 10. ການແກ້ໄຂ: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
- ວິທີແກ້ໄຂ. ໃຊ້ tan x = t. ແປງສົມຜົນທີ່ມອບໃຫ້ເປັນສົມຜົນກັບ t ເປັນຕົວແປ: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. ແກ້ໄຂ ສຳ ລັບ t ຈາກຜະລິດຕະພັນນີ້, ຈາກນັ້ນແກ້ສົມຜົນສົມຜົນ trigonometric ມາດຕະຖານ tan x = t ສຳ ລັບ x.
ແກ້ສົມຜົນສົມຜົນແບບ trigonometric ພິເສດ.
- ມັນມີສົມຜົນ trigonometric ພິເສດ ຈຳ ນວນ ໜຶ່ງ ທີ່ຕ້ອງການການແປງສະເພາະ. ຕົວຢ່າງ:
- a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
- a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
ຮຽນຮູ້ຄຸນສົມບັດແຕ່ລະໄລຍະຂອງ ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric.
- ທຸກໆ ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric ແມ່ນແຕ່ລະໄລຍະ, ຊຶ່ງ ໝາຍ ຄວາມວ່າພວກເຂົາກັບຄືນມູນຄ່າດຽວກັນຫຼັງຈາກ ໝູນ ວຽນໃນໄລຍະ ໜຶ່ງ. ຕົວຢ່າງ:
  - ຟັງຊັນ f (x) = sin x ມີ 2Pi ເປັນໄລຍະ ໜຶ່ງ.
  - ຟັງຊັນ f (x) = tan x ມີ Pi ເປັນໄລຍະ.
  - ຟັງຊັນ f (x) = sin 2x ມີ Pi ເປັນໄລຍະ ໜຶ່ງ.
  - ຟັງຊັນ f (x) = cos (x / 2) ມີ 4Pi ເປັນໄລຍະເວລາ.
- ຖ້າໄລຍະເວລາຖືກລະບຸໄວ້ໃນບົດຝຶກຫັດ / ການທົດສອບ, ຫຼັງຈາກນັ້ນທ່ານພຽງແຕ່ຕ້ອງການຊອກຫາເສັ້ນໂຄ້ງ x ພາຍໃນໄລຍະນີ້.
- ໝາຍ ເຫດ: ການແກ້ໄຂສົມຜົນຂອງ trigonometric ແມ່ນມີຄວາມຫຼອກລວງແລະມັກເຮັດໃຫ້ເກີດຄວາມຜິດພາດແລະຄວາມຜິດພາດ. ສະນັ້ນ, ຄຳ ຕອບຄວນໄດ້ຮັບການກວດກາຢ່າງລະມັດລະວັງ. ຫຼັງຈາກແກ້ໄຂ, ທ່ານສາມາດກວດສອບ ຄຳ ຕອບໂດຍໃຊ້ເຄື່ອງຄິດໄລ່ກາຟິກ, ເພື່ອເປັນຕົວແທນໂດຍກົງຂອງສົມຜົນ trigonometric R (x) = 0. ຄຳ ຕອບ (ເປັນຮາກສີ່ຫລ່ຽມ) ແມ່ນໃຫ້ໃນສະຖານທີ່ທົດສະນິຍົມ. ເປັນຕົວຢ່າງ, Pi ມີຄ່າ 3.14