ເນື້ອຫາ

• ຂັ້ນຕອນ
• ວິທີທີ 1 ຈາກທັງ3ົດ 3: ວິທີການແກ້ສົມຜົນຄິວບາໂດຍບໍ່ມີໄລຍະຄົງທີ່
• ວິທີທີ່ 2 ຈາກທັງ3ົດ 3: ວິທີຊອກຫາຮາກທັງUsingົດໂດຍໃຊ້ຕົວຄູນ
• ວິທີການທີ 3 ຂອງ 3: ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນໂດຍໃຊ້ການຈໍາແນກ

ໃນສົມຜົນກ້ອນ ໜຶ່ງ, ເລກ ກຳ ລັງສູງສຸດແມ່ນ 3, ສົມຜົນດັ່ງກ່າວມີ 3 ຮາກ (ວິທີແກ້ໄຂ) ແລະມັນມີຮູບແບບ ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... ສົມຜົນຄິວບາບາງອັນບໍ່ແມ່ນເລື່ອງງ່າຍທີ່ຈະແກ້ໄດ້, ແຕ່ຖ້າເຈົ້າ ນຳ ໃຊ້ວິທີການທີ່ຖືກຕ້ອງ (ມີພື້ນຖານທາງດ້ານທິດສະດີທີ່ດີ), ເຈົ້າສາມາດຊອກຫາຮາກຂອງແມ້ແຕ່ສົມຜົນຄິວບາທີ່ຊັບຊ້ອນທີ່ສຸດ - ສຳ ລັບວິທີນີ້ໃຊ້ສູດເພື່ອແກ້ສົມຜົນສີ່ຫຼ່ຽມ, ຊອກຫາ ຮາກທັງ,ົດ, ຫຼື ຄຳ ນວນ ຈຳ ແນກໄດ້.

ຂັ້ນຕອນ

ວິທີທີ 1 ຈາກທັງ3ົດ 3: ວິທີການແກ້ສົມຜົນຄິວບາໂດຍບໍ່ມີໄລຍະຄົງທີ່

1. 1 ຊອກຫາວ່າມີ ຄຳ ສັບທີ່ບໍ່ເສຍຄ່າຢູ່ໃນສົມຜົນຄິວ ງ{ displaystyle d}. ສົມຜົນກ້ອນມີຮູບແບບ ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... ເພື່ອໃຫ້ສົມຜົນໄດ້ຮັບການພິຈາລະນາເປັນກ້ອນ, ມັນພຽງພໍພຽງແຕ່ ຄຳ ສັບເທົ່ານັ້ນ ${ displaystyle x ^ {3}}$ (ນັ້ນແມ່ນ, ອາດຈະບໍ່ມີສະມາຊິກຄົນອື່ນເລີຍ).
   • ຖ້າສົມຜົນມີໄລຍະເສລີ ${ displaystyle d}$, ໃຊ້ວິທີອື່ນ.
   • ຖ້າຢູ່ໃນສົມຜົນ ${ displaystyle a = 0}$, ມັນບໍ່ແມ່ນແມັດກ້ອນ.
2. 2 ເອົາອອກຈາກວົງເລັບ x{ displaystyle x}. ເນື່ອງຈາກວ່າບໍ່ມີ ຄຳ ວ່າຟຣີຢູ່ໃນສົມຜົນ, ແຕ່ລະ ຄຳ ສັບໃນສົມຜົນລວມມີຕົວແປ ${ displaystyle x}$... ນີ້meansາຍຄວາມວ່າອັນ ໜຶ່ງ ${ displaystyle x}$ ສາມາດແຍກອອກຈາກວົງເລັບເພື່ອເຮັດໃຫ້ສົມຜົນງ່າຍຂື້ນ. ດັ່ງນັ້ນ, ສົມຜົນຈະຖືກຂຽນດັ່ງນີ້: ${ displaystyle x (ແກນ ^ {2} + bx + c)}$.
   • ຕົວຢ່າງ, ໃຫ້ສົມຜົນຄູນ ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • ເອົາ​ອອກ ${ displaystyle x}$ ວົງເລັບແລະໄດ້ຮັບ ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 ປັດໄຈ (ຜະລິດຕະພັນຂອງສອງທະວິນາມ) ສົມຜົນສອງເທົ່າ (ຖ້າເປັນໄປໄດ້). ຫຼາຍສົມຜົນສີ່ຫຼ່ຽມຂອງແບບຟອມ ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ ສາມາດເປັນປັດໃຈໄດ້. ສົມຜົນດັ່ງກ່າວຈະຫັນອອກມາຖ້າພວກເຮົາເອົາອອກໄປ ${ displaystyle x}$ ຢູ່ນອກວົງເລັບ. ໃນຕົວຢ່າງຂອງພວກເຮົາ:
   • ເອົາອອກຈາກວົງເລັບ ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • ຕົວຄູນສົມຜົນ ກຳ ລັງສອງ: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • ສົມທຽບແຕ່ລະຖັງໃສ່ກັບ ${ displaystyle 0}$... ຮາກຂອງສົມຜົນນີ້ແມ່ນ ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 ແກ້ສົມຜົນ ກຳ ລັງສອງໂດຍໃຊ້ສູດພິເສດ. ເຮັດອັນນີ້ຖ້າສົມຜົນກໍາລັງສອງບໍ່ສາມາດຖືກປັດໄຈໄດ້. ເພື່ອຊອກຫາສອງຮາກຂອງສົມຜົນ, ຄ່າຂອງຕົວຄູນ ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle ຮູບແບບ c}$ ທົດແທນໃນສູດ ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • ໃນຕົວຢ່າງຂອງພວກເຮົາ, ແທນຄ່າຂອງຕົວຄູນ ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle ຮູບແບບ c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) ເຂົ້າໄປໃນສູດ:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • ຮາກທໍາອິດ:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • ຮາກທີສອງ:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 ໃຊ້ຮາກສູນແລະສີ່ຫຼ່ຽມເປັນວິທີແກ້ໄຂບັນຫາສົມຜົນຄູນ. ສົມຜົນ ກຳ ລັງສອງມີສອງຮາກ, ໃນຂະນະທີ່ກ້ອນ ໜຶ່ງ ມີສາມ. ເຈົ້າໄດ້ພົບເຫັນສອງທາງແກ້ໄຂແລ້ວ - ເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນຮາກຂອງສົມຜົນສີ່ຫຼ່ຽມ. ຖ້າເຈົ້າໃສ່ "x" ຢູ່ນອກວົງເລັບ, ທາງອອກທີສາມຈະເປັນ ${ displaystyle 0}$.
   • ຖ້າເຈົ້າເອົາ "x" ອອກຈາກວົງເລັບ, ເຈົ້າຈະໄດ້ຮັບ ${ displaystyle x (ແກນ ^ {2} + bx + c) = 0}$ນັ້ນແມ່ນ, ສອງປັດໃຈ: ${ displaystyle x}$ ແລະສົມຜົນ ກຳ ລັງສອງຢູ່ໃນວົງເລັບ. ຖ້າມີປັດໃຈເຫຼົ່ານີ້ຢູ່ ${ displaystyle 0}$ສົມຜົນທັງisົດຍັງເທົ່າກັບ ${ displaystyle 0}$.
   • ດັ່ງນັ້ນ, ສອງຮາກຂອງສົມຜົນຄູນສີ່ແມ່ນການແກ້ໄຂບັນຫາຂອງສົມຜົນຄິວບາ. ການແກ້ໄຂທີສາມແມ່ນ ${ displaystyle x = 0}$.

ວິທີທີ່ 2 ຈາກທັງ3ົດ 3: ວິທີຊອກຫາຮາກທັງUsingົດໂດຍໃຊ້ຕົວຄູນ

1. 1 ໃຫ້ແນ່ໃຈວ່າມີ ຄຳ ສັບທີ່ບໍ່ເສຍຄ່າຢູ່ໃນສົມຜົນຄິວ ງ{ displaystyle d}. ຖ້າຢູ່ໃນສົມຜົນຂອງຮູບແບບ ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ ມີສະມາຊິກຟຣີ ${ displaystyle d}$ (ເຊິ່ງບໍ່ເທົ່າກັບສູນ), ມັນຈະໃຊ້ບໍ່ໄດ້ທີ່ຈະວາງ "x" ຢູ່ນອກວົງເລັບ. ໃນກໍລະນີນີ້, ໃຊ້ວິທີທີ່ໄດ້ອະທິບາຍໄວ້ໃນພາກນີ້.
   • ຕົວຢ່າງ, ໃຫ້ສົມຜົນຄູນ ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ສູນຢູ່ເບື້ອງຂວາຂອງສົມຜົນ, ໃຫ້ເພີ່ມ ${ displaystyle 6}$ ທັງສອງດ້ານຂອງສົມຜົນ.
   • ສົມຜົນຈະຫັນອອກ ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... ເປັນ ${ displaystyle d = 6}$, ວິທີການອະທິບາຍຢູ່ໃນພາກທໍາອິດບໍ່ສາມາດຖືກນໍາໃຊ້.
2. 2 ຂຽນບັນດາປັດໃຈຂອງຕົວຄູນ ກ{ displaystyle a} ແລະສະມາຊິກຟຣີ ງ{ displaystyle d}. ນັ້ນແມ່ນ, ຊອກຫາປັດໃຈຂອງຕົວເລກຢູ່ທີ່ ${ displaystyle x ^ {3}}$ ແລະຕົວເລກກ່ອນເຄື່ອງequalາຍເທົ່າທຽມກັນ. ຈື່ໄວ້ວ່າປັດໃຈຂອງຕົວເລກແມ່ນຕົວເລກທີ່, ເມື່ອຄູນ, ຜະລິດຕົວເລກນັ້ນ.
   • ຕົວຢ່າງ, ເພື່ອໃຫ້ໄດ້ຕົວເລກ 6, ເຈົ້າຕ້ອງການຄູນ ${ displaystyle 6 times 1}$ ແລະ ${ displaystyle 2 times 3}$... ດັ່ງນັ້ນຕົວເລກ 1, 2, 3, 6 ແມ່ນປັດໃຈຂອງ ຈຳ ນວນ 6.
   • ໃນສົມຜົນຂອງພວກເຮົາ ${ displaystyle a = 2}$ ແລະ ${ displaystyle d = 6}$... ຕົວຄູນ 2 ແມ່ນ 1 ແລະ 2... ຕົວຄູນ 6 ແມ່ນຕົວເລກ 1, 2, 3 ແລະ 6.
3. 3 ຫານປັດໃຈແຕ່ລະອັນ ກ{ displaystyle a} ສໍາລັບແຕ່ລະປັດໃຈ ງ{ displaystyle d}. ຜົນກໍຄື, ເຈົ້າໄດ້ຮັບເລກເສດສ່ວນແລະຕົວຄູນຫຼາຍ; ຮາກຂອງສົມຜົນກ້ອນຈະເປັນ ໜຶ່ງ ໃນ ຈຳ ນວນເຕັມຫຼືຄ່າລົບຂອງ ໜຶ່ງ ໃນ ຈຳ ນວນເຕັມ.
   • ໃນຕົວຢ່າງຂອງພວກເຮົາ, ແບ່ງປັດໃຈ ${ displaystyle a}$ (1 ແລະ 2) ໂດຍປັດໃຈຕ່າງ ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 ແລະ 6). ເຈົ້າຈະໄດ້ຮັບ: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ ແລະ ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... ດຽວນີ້ເພີ່ມຄ່າລົບຂອງເສດສ່ວນແລະຕົວເລກທີ່ໄດ້ມາໃສ່ໃນບັນຊີລາຍຊື່ນີ້: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ ແລະ ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... ຮາກທັງofົດຂອງສົມຜົນຄິວບາແມ່ນຕົວເລກ ຈຳ ນວນ ໜຶ່ງ ຈາກບັນຊີລາຍຊື່ນີ້.
4. 4 ສຽບຕົວເລກເຕັມເຂົ້າໄປໃນສົມຜົນຄິວ. ຖ້າຄວາມສະເີພາບເປັນຄວາມຈິງ, ຕົວເລກທົດແທນແມ່ນຮາກຂອງສົມຜົນ. ຕົວຢ່າງ, ການທົດແທນໃນສົມຜົນ ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle ແບບ 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle ແບບ 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, ນັ້ນແມ່ນ, ຄວາມສະເີພາບບໍ່ໄດ້ຖືກສັງເກດເຫັນ. ໃນກໍລະນີນີ້, ສຽບໃສ່ຕົວເລກຕໍ່ໄປ.
   • ຕົວແທນ ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. ດັ່ງນັ້ນ, ${ displaystyle -1}$ ແມ່ນຮາກທັງofົດຂອງສົມຜົນ.
5. 5 ໃຊ້ວິທີການຫານພະຫຸນາມໂດຍ ໂຄງການຂອງ Hornerເພື່ອຊອກຫາຮາກຂອງສົມຜົນໄວຂຶ້ນ. ເຮັດອັນນີ້ຖ້າເຈົ້າບໍ່ຕ້ອງການປ່ຽນຕົວເລກດ້ວຍຕົນເອງເຂົ້າໄປໃນສົມຜົນ. ໃນໂຄງການຂອງ Horner, ຈຳ ​​ນວນເຕັມຖືກແບ່ງອອກໂດຍຄ່າຂອງຕົວຄູນຂອງສົມຜົນ ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle ຮູບແບບ c}$ ແລະ ${ displaystyle d}$... ຖ້າຕົວເລກຖືກຫານໃຫ້ເທົ່າທຽມກັນ (ນັ້ນແມ່ນ, ສ່ວນທີ່ເຫຼືອແມ່ນ ${ displaystyle 0}$), ຈຳ ນວນເຕັມແມ່ນຮາກຂອງສົມຜົນ.
   • ໂຄງການຂອງ Horner ສົມຄວນໄດ້ຮັບບົດຄວາມແຍກຕ່າງຫາກ, ແຕ່ຕໍ່ໄປນີ້ແມ່ນຕົວຢ່າງຂອງການຄິດໄລ່ ໜຶ່ງ ຂອງຮາກຂອງສົມຜົນກ້ອນຂອງພວກເຮົາໂດຍໃຊ້ໂຄງການນີ້:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • ດັ່ງນັ້ນສ່ວນທີ່ເຫຼືອແມ່ນ ${ displaystyle 0}$, ແຕ່ ${ displaystyle -1}$ ແມ່ນ ໜຶ່ງ ໃນຮາກຂອງສົມຜົນ.

ວິທີການທີ 3 ຂອງ 3: ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນໂດຍໃຊ້ການຈໍາແນກ

1. 1 ຂຽນຄ່າຂອງຄ່າ ສຳ ປະສິດຂອງສົມຜົນ ກ{ displaystyle a}, ຂ{ displaystyle b}, ຄ{ displaystyle ຮູບແບບ c} ແລະ ງ{ displaystyle d}. ພວກເຮົາແນະນໍາໃຫ້ເຈົ້າຂຽນຄ່າຂອງຕົວຄູນທີ່ລະບຸໄວ້ລ່ວງ ໜ້າ ເພື່ອບໍ່ໃຫ້ເກີດຄວາມສັບສົນໃນອະນາຄົດ.
   • ຕົວຢ່າງ, ໃຫ້ສົມຜົນ ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... ຂຽນລົງ ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle ຮູບແບບ c = 3}$ ແລະ ${ displaystyle d = -1}$... ຈື່ໄດ້ວ່າຖ້າກ່ອນ ${ displaystyle x}$ ບໍ່ມີຕົວເລກ, ຕົວຄູນທີ່ສອດຄ້ອງກັນຍັງຄົງຢູ່ແລະເທົ່າກັບ ${ displaystyle 1}$.
2. 2 ຄິດໄລ່ເລກສູນໂດຍໃຊ້ສູດພິເສດ. ເພື່ອແກ້ໄຂສົມຜົນກ້ອນໂດຍໃຊ້ການຈໍາແນກ, ເຈົ້າຈໍາເປັນຕ້ອງດໍາເນີນການຄໍານວນທີ່ຫຍຸ້ງຍາກຈໍານວນ ໜຶ່ງ, ແຕ່ຖ້າເຈົ້າດໍາເນີນທຸກຂັ້ນຕອນຢ່າງຖືກຕ້ອງ, ວິທີການນີ້ຈະກາຍເປັນສິ່ງທີ່ຂາດບໍ່ໄດ້ສໍາລັບການແກ້ໄຂສົມຜົນຄິວບາທີ່ຊັບຊ້ອນທີ່ສຸດ. ການຄິດໄລ່ຄັ້ງທໍາອິດ ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (ສູນຈໍາແນກ) ແມ່ນຄ່າທໍາອິດທີ່ພວກເຮົາຕ້ອງການ; ເພື່ອເຮັດສິ່ງນີ້, ທົດແທນຄ່າທີ່ສອດຄ້ອງກັນໃນສູດ ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • ຈຳ ແນກ ຈຳ ແນກແມ່ນຕົວເລກທີ່ບົ່ງບອກເຖິງຮາກຂອງພະຫຸນາມ (ຕົວຢ່າງ, ການ ຈຳ ແນກຂອງສົມຜົນ ກຳ ລັງສອງແມ່ນຄິດໄລ່ໂດຍສູດ ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • ໃນສົມຜົນຂອງພວກເຮົາ:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 ຄິດໄລ່ການຈໍາແນກທໍາອິດໂດຍໃຊ້ສູດ Δ1=2ຂ3−9ກຂຄ+27ກ2ງ{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. ຈໍາແນກທໍາອິດ ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - ອັນນີ້ແມ່ນຄ່າ ສຳ ຄັນອັນດັບສອງ; ເພື່ອຄິດໄລ່ມັນ, ສຽບຄ່າທີ່ສອດຄ້ອງກັນເຂົ້າໄປໃນສູດທີ່ລະບຸໄວ້.
   • ໃນສົມຜົນຂອງພວກເຮົາ:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 ຄິດໄລ່:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... ນັ້ນແມ່ນ, ຊອກຫາການ ຈຳ ແນກຂອງສົມຜົນກ້ອນຜ່ານຄ່າທີ່ໄດ້ມາ ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ແລະ ${ displaystyle Delta _ {1}}$... ຖ້າການຈໍາແນກຂອງສົມຜົນຄິວເປັນບວກ, ສົມຜົນມີສາມຮາກ; ຖ້າຈໍາແນກແມ່ນສູນ, ສົມຜົນຈະມີ ໜຶ່ງ ຫຼືສອງຮາກ; ຖ້າ ຈຳ ແນກມີຄ່າລົບ, ສົມຜົນຈະມີ ໜຶ່ງ ຮາກ.
   • ສົມຜົນກ້ອນ ໜຶ່ງ ມີຮາກຢ່າງ ໜ້ອຍ ໜຶ່ງ ຮາກສະເsinceີ, ເນື່ອງຈາກເສັ້ນສະແດງຂອງສົມຜົນນີ້ຕັດຜ່ານແກນ X ຢ່າງ ໜ້ອຍ ໜຶ່ງ ຈຸດ.
   • ໃນສົມຜົນຂອງພວກເຮົາ ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ແລະ ${ displaystyle Delta _ {1}}$ ແມ່ນເທົ່າທຽມກັນ ${ displaystyle 0}$, ດັ່ງນັ້ນທ່ານສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ຢ່າງງ່າຍດາຍ ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... ດັ່ງນັ້ນ, ສົມຜົນຂອງພວກເຮົາມີ ໜຶ່ງ ຫຼືສອງຮາກ.

5. 5 ຄິດໄລ່:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { ຊ້າຍ ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } ຂວາ) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - ອັນນີ້ແມ່ນປະລິມານອັນສໍາຄັນສຸດທ້າຍທີ່ຈະພົບໄດ້; ມັນຈະຊ່ວຍໃຫ້ເຈົ້າຄິດໄລ່ຮາກຂອງສົມຜົນ. ແທນຄ່າເຂົ້າໃນສູດທີ່ລະບຸ ${ displaystyle Delta _ {1}}$ ແລະ ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • ໃນສົມຜົນຂອງພວກເຮົາ:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 ຊອກຫາສາມຮາກຂອງສົມຜົນ. ເຮັດມັນດ້ວຍສູດ ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, ບ່ອນທີ່ ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, ແຕ່ n ເທົ່າກັບ 1, 2 ຫຼື 3... ແທນຄ່າທີ່ເappropriateາະສົມເຂົ້າໃນສູດນີ້ - ດ້ວຍເຫດນັ້ນ, ເຈົ້າຈະໄດ້ສາມຮາກຂອງສົມຜົນ.
   • ຄິດໄລ່ຄ່າໂດຍການ ນຳ ໃຊ້ສູດ ຄຳ ນວນຢູ່ທີ່ n = 1, 2 ຫຼື 3ແລະຈາກນັ້ນກວດເບິ່ງ ຄຳ ຕອບ. ຖ້າເຈົ້າໄດ້ 0 ເມື່ອເຈົ້າກວດເບິ່ງຄໍາຕອບຂອງເຈົ້າ, ຄ່ານີ້ແມ່ນຮາກຂອງສົມຜົນ.
   • ໃນຕົວຢ່າງຂອງພວກເຮົາ, ທົດແທນ 1 ໃນ ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ ແລະໄດ້ຮັບ 0, i.e 1 ແມ່ນ ໜຶ່ງ ໃນຮາກຂອງສົມຜົນ.