ເນື້ອຫາ

• ຂັ້ນຕອນ

ສົມຜົນ trigonometric ມີ ໜຶ່ງ ຫຼືຫຼາຍ ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric ຂອງຕົວປ່ຽນ "x" (ຫຼືຕົວແປອື່ນ other). ການແກ້ສົມຜົນ trigonometric ແມ່ນການຊອກຫາຄ່າດັ່ງກ່າວ "x" ທີ່ຕອບສະ ໜອງ ໜ້າ ທີ່ແລະສົມຜົນທັງົດ.

• ການແກ້ໄຂບັນຫາສົມຜົນ trigonometric ແມ່ນສະແດງອອກເປັນອົງສາຫຼືເຣດຽນ. ຕົວຢ່າງ:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 ອົງສາ; x = 37.12 ອົງສາ; x = 178.37 ອົງສາ.

• Noteາຍເຫດ: ຄ່າຂອງຟັງຊັນສາມມິຕິຈາກມຸມ, ສະແດງອອກເປັນເຣດຽນ, ແລະຈາກມຸມ, ສະແດງອອກເປັນອົງສາ, ແມ່ນເທົ່າກັນ. ແຜ່ນປ້າຍວົງກົມສາມມິຕິທີ່ມີລັດສະequalີເທົ່າກັບວົງມົນ ໜຶ່ງ ໄດ້ຖືກ ນຳ ໃຊ້ເພື່ອພັນລະນາ ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric, ພ້ອມທັງກວດກາຄວາມຖືກຕ້ອງຂອງການແກ້ໄຂບັນຫາຂອງສົມຜົນຂັ້ນພື້ນຖານແລະຄວາມບໍ່ເທົ່າທຽມກັນ.
• ຕົວຢ່າງຂອງສົມຜົນ trigonometric:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. ຮູບວົງມົນສາມມິຕິທີ່ມີລັດສະofີນຶ່ງຂອງ (ວົງມົນ ໜ່ວຍ).
   • ມັນເປັນວົງມົນທີ່ມີລັດສະequalີເທົ່າກັບ ໜຶ່ງ ແລະໃຈກາງຢູ່ທີ່ຈຸດ O. ວົງກົມ ໜ່ວຍ ອະທິບາຍ 4 ໜ້າ ທີ່ພື້ນຖານຂອງຕົວເລກສາມມິຕິຂອງຕົວປ່ຽນ "x", ບ່ອນທີ່ "x" ແມ່ນມຸມທີ່ວັດແທກຈາກທິດທາງບວກຂອງແກນ X ທວນເຂັມໂມງ.
   • ຖ້າ "x" ເປັນມຸມບາງອັນຢູ່ໃນວົງມົນຂອງ ໜ່ວຍ, ແລ້ວ:
   • ແກນແນວນອນ OAx ກຳ ນົດ ໜ້າ ທີ່ F (x) = cos x.
   • ແກນແນວຕັ້ງ OBy ກຳ ນົດ ໜ້າ ທີ່ F (x) = sin x.
   • ແກນລວງຕັ້ງ AT ກໍານົດ ໜ້າ ທີ່ F (x) = tan x.
   • ແກນລວງນອນ BU ກຳ ນົດ ໜ້າ ທີ່ F (x) = ctg x.

• ແຜ່ນປ້າຍວົງກົມຫົວ ໜ່ວຍ ຍັງຖືກ ນຳ ໃຊ້ເພື່ອແກ້ໄຂສົມຜົນຂັ້ນພື້ນຖານຂອງສາມມິຕິແລະຄວາມບໍ່ສະເີພາບ (ຕຳ ແໜ່ງ ທີ່ແຕກຕ່າງກັນຂອງ "x" ແມ່ນພິຈາລະນາໃສ່ມັນ).

ຂັ້ນຕອນ

1. 1 ແນວຄວາມຄິດຂອງການແກ້ໄຂສົມຜົນ trigonometric.
   • ເພື່ອແກ້ສົມຜົນສາມມິຕິ, ປ່ຽນມັນໄປເປັນ ໜຶ່ງ ຫຼືຫຼາຍສົມຜົນຂັ້ນສາມມິຕິຂັ້ນພື້ນຖານ. ການແກ້ໄຂສົມຜົນ trigonometric ໃນທີ່ສຸດລົງມາເພື່ອແກ້ໄຂສີ່ສົມຜົນຂັ້ນພື້ນຖານສາມມິຕິ.
2. 2 ການແກ້ໄຂສົມຜົນພື້ນຖານສາມມິຕິ.
   • ມີ 4 ປະເພດຂອງສົມຜົນຂັ້ນພື້ນຖານສາມມິຕິ:
   • ບາບ x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • ການແກ້ໄຂສົມຜົນພື້ນຖານສາມມິຕິກ່ຽວຂ້ອງກັບການເບິ່ງຕໍາ ແໜ່ງ x ທີ່ແຕກຕ່າງກັນຢູ່ໃນວົງກົມຂອງ ໜ່ວຍ ແລະໃຊ້ຕາຕະລາງການປ່ຽນແປງ (ຫຼືເຄື່ອງຄິດເລກ).
   • ຕົວຢ່າງ 1.sin x = 0.866. ການນໍາໃຊ້ຕາຕະລາງການປ່ຽນແປງ (ຫຼືເຄື່ອງຄິດເລກ), ເຈົ້າໄດ້ຮັບຄໍາຕອບ: x = π / 3. ວົງມົນຫົວ ໜ່ວຍ ໃຫ້ ຄຳ ຕອບອີກອັນ ໜຶ່ງ: 2π / 3. ຈືຂໍ້ມູນການ: ທຸກ functions ໜ້າ ທີ່ຂອງສາມມິຕິແມ່ນເປັນໄລຍະ, ນັ້ນແມ່ນ, ຄຸນຄ່າຂອງມັນຖືກຊ້ ຳ ຄືນ. ຕົວຢ່າງ, ໄລຍະເວລາຂອງບາບ x ແລະ cos x ແມ່ນ2πn, ແລະໄລຍະເວລາຂອງ tg x ແລະ ctg x ແມ່ນπn. ເພາະສະນັ້ນ, ຄຳ ຕອບໄດ້ຖືກຂຽນດັ່ງນີ້:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • ຕົວຢ່າງ 2.cos x = -1/2. ການນໍາໃຊ້ຕາຕະລາງການປ່ຽນແປງ (ຫຼືເຄື່ອງຄິດເລກ), ເຈົ້າໄດ້ຮັບຄໍາຕອບ: x = 2π / 3. ວົງມົນຫົວ ໜ່ວຍ ໃຫ້ ຄຳ ຕອບອີກອັນ ໜຶ່ງ: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • ຕົວຢ່າງ 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • ຕອບ: x = π / 4 + πn.
   • ຕົວຢ່າງ 4. ctg 2x = 1.732.
   • ຕອບ: x = π / 12 + πn.
3. 3 ການຫັນປ່ຽນທີ່ໃຊ້ເພື່ອແກ້ໄຂສົມຜົນ trigonometric.
   • ເພື່ອຫັນປ່ຽນສົມຜົນ trigonometric, ການປ່ຽນແປງພຶດຊະຄະນິດ (ປັດໄຈ, ການຫຼຸດຜ່ອນເງື່ອນໄຂທີ່ເປັນເອກະພາບກັນ, ແລະອື່ນ) ແລະຕົວຕົນ trigonometric ໄດ້ຖືກນໍາໃຊ້.
   • ຕົວຢ່າງ 5. ການນໍາໃຊ້ຕົວເລກ trigonometric, ສົມຜົນ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ຈະຖືກປ່ຽນເປັນສົມຜົນ 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. ດັ່ງນັ້ນ, ເຈົ້າຕ້ອງການ ແກ້ໄຂສົມຜົນພື້ນຖານສາມມິຕິພື້ນຖານຕໍ່ໄປນີ້: cos x = 0; ບາບ (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 ການຊອກຫາມຸມຈາກຄ່າທີ່ຮູ້ຈັກຂອງຟັງຊັນ.
   • ກ່ອນທີ່ຈະຮຽນຮູ້ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນ trigonometric, ເຈົ້າຕ້ອງຮຽນຮູ້ວິທີຊອກຫາມຸມຈາກຄຸນຄ່າຂອງຟັງຊັນທີ່ຮູ້ຈັກ. ອັນນີ້ສາມາດເຮັດໄດ້ໂດຍໃຊ້ຕາຕະລາງປ່ຽນຫຼືເຄື່ອງຄິດເລກ.
   • ຕົວຢ່າງ: cos x = 0.732. ເຄື່ອງຄິດເລກຈະໃຫ້ຄໍາຕອບ x = 42.95 ອົງສາ. ວົງກົມ ໜ່ວຍ ຈະໃຫ້ມຸມເພີ່ມເຕີມ, ໂກຊິນເຊິ່ງມີ 0.732.
5. 5 ວາງວິທີແກ້ໄຂບັນຫາໄວ້ທີ່ວົງກົມ ໜ່ວຍ.
   • ເຈົ້າສາມາດເລື່ອນການແກ້ໄຂບັນຫາສົມຜົນ trigonometric ຢູ່ໃນວົງມົນ ໜ່ວຍ. ການແກ້ໄຂບັນຫາຂອງສົມຜົນ trigonometric ຢູ່ໃນວົງມົນ ໜ່ວຍ ແມ່ນຈຸດສູງສຸດຂອງຮູບຫຼາຍແຈ.
   • ຕົວຢ່າງ: ວິທີແກ້ໄຂ x = π / 3 + πn / 2 ຢູ່ໃນວົງມົນຫົວ ໜ່ວຍ ແມ່ນຈຸດສູງສຸດຂອງສີ່ຫຼ່ຽມ.
   • ຕົວຢ່າງ: ວິທີແກ້ໄຂ x = π / 4 + πn / 3 ຢູ່ໃນວົງມົນຫົວ ໜ່ວຍ ເປັນຕົວແທນຂອງຈຸດສູງສຸດຂອງຫົກຫຼ່ຽມປົກກະຕິ.
6. 6 ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນ trigonometric.
   • ຖ້າສົມຜົນ trig ທີ່ໃຫ້ມາມີພຽງແຕ່ ໜຶ່ງ ໜ້າ ທີ່ trig, ແກ້ສົມຜົນນັ້ນເປັນສົມຜົນ trig ພື້ນຖານ.ຖ້າສົມຜົນທີ່ໃຫ້ມາລວມມີສອງຫຼືຫຼາຍກວ່າ ໜ້າ ທີ່ຂອງ trigonometric, ຈາກນັ້ນມີ 2 ວິທີການແກ້ໄຂສົມຜົນດັ່ງກ່າວ (ຂຶ້ນກັບຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການປ່ຽນແປງຂອງມັນ).
     • ວິທີການ 1.
   • ປ່ຽນສົມຜົນນີ້ໄປເປັນສົມຜົນຂອງຮູບແບບ: f (x) * g (x) * h (x) = 0, ບ່ອນທີ່ f (x), g (x), h (x) ແມ່ນສົມຜົນຂັ້ນສາມມິຕິຂັ້ນພື້ນຖານ.
     
     
   • ຕົວຢ່າງ 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • ການແກ້ໄຂ. ການນໍາໃຊ້ສູດມຸມສອງເທົ່າ sin 2x = 2 * sin x * cos x, ແທນ sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. ດຽວນີ້ແກ້ສົມຜົນສາມພື້ນຖານຂອງສົມຜົນສາມມິຕິ: cos x = 0 ແລະ (sin x + 1) = 0.
   • ຕົວຢ່າງ 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • ວິທີແກ້ໄຂ: ການນໍາໃຊ້ການກໍານົດຕົວເລກຕົວເລກສາມມິຕິ, ປ່ຽນສົມຜົນນີ້ໃຫ້ເປັນສົມຜົນຂອງຮູບແບບ: cos 2x (2cos x + 1) = 0.
   • ຕົວຢ່າງ 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • ວິທີແກ້ໄຂ: ການນໍາໃຊ້ການກໍານົດຕົວເລກ trigonometric, ປ່ຽນສົມຜົນນີ້ໃຫ້ເປັນສົມຜົນຂອງຮູບແບບ: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. ຕອນນີ້ໃຫ້ແກ້ໄຂສົມຜົນສາມມິຕິຂັ້ນພື້ນຖານ: cos 2x = 0 ແລະ (2sin x + 1) = 0.
     • ວິທີການ 2.
   • ປ່ຽນສົມຜົນ trigonometric ທີ່ໄດ້ໃຫ້ມາເປັນສົມຜົນທີ່ມີພຽງແຕ່ຟັງຊັນ trigonometric ອັນດຽວ. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ທົດແທນການທໍາງານຂອງ trigonometric ນີ້ດ້ວຍບາງອັນທີ່ບໍ່ຮູ້ຕົວ, ຕົວຢ່າງ, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, ແລະອື່ນ)).
   • ຕົວຢ່າງ 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • ການແກ້ໄຂ. ໃນສົມຜົນນີ້, ທົດແທນ (cos ^ 2 x) ດ້ວຍ (1 - sin ^ 2 x) (ໂດຍຕົວຕົນ). ສົມຜົນທີ່ປ່ຽນແປງແມ່ນ:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. ແທນ sin x ດ້ວຍ t. ສົມຜົນປະຈຸບັນມີລັກສະນະຄືແນວນີ້: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. ນີ້ແມ່ນສົມຜົນຄູນສອງທີ່ມີສອງຮາກຄື: t1 = -1 ແລະ t2 = 9/5. ຮາກທີສອງ t2 ບໍ່ຕອບສະ ໜອງ ໄດ້ຂອບເຂດຂອງຄ່າຂອງຟັງຊັນ (-1 sin x 1). ຕອນນີ້ຕັດສິນໃຈ: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • ຕົວຢ່າງ 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • ການແກ້ໄຂ. ແທນທີ່ tg x ດ້ວຍ t. ຂຽນສົມຜົນເດີມຄືນໃas່ດັ່ງນີ້: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. ຕອນນີ້ຊອກຫາ t ແລ້ວຊອກຫາ x ສໍາລັບ t = tg x.
7. 7 ສົມຜົນສາມມິຕິພິເສດ.
   • ມີສົມຜົນພິເສດສາມມິຕິທີ່ຕ້ອງການການປ່ຽນແປງສະເພາະ. ຕົວຢ່າງ:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 ໄລຍະເວລາຂອງຟັງຊັນ trigonometric.
   • ດັ່ງທີ່ໄດ້ກ່າວມາກ່ອນ ໜ້າ ນີ້, ໜ້າ ທີ່ trigonometric ທັງareົດແມ່ນແຕ່ລະໄລຍະ, ນັ້ນແມ່ນ, ຄຸນຄ່າຂອງມັນຖືກຊ້ ຳ ຄືນຫຼັງຈາກໄລຍະເວລາໃດ ໜຶ່ງ. ຕົວຢ່າງ:
     • ໄລຍະຂອງການທໍາງານ f (x) = sin x ແມ່ນ2π.
     • ໄລຍະຂອງການທໍາງານ f (x) = tan x ແມ່ນເທົ່າກັບπ.
     • ໄລຍະຂອງການທໍາງານ f (x) = sin 2x ແມ່ນπ.
     • ໄລຍະເວລາຂອງຟັງຊັນ f (x) = cos (x / 2) ແມ່ນ4π.
   • ຖ້າໄລຍະເວລາຖືກລະບຸໄວ້ໃນບັນຫາ, ໃຫ້ຄິດໄລ່ຄ່າ "x" ພາຍໃນໄລຍະນີ້.
   • Noteາຍເຫດ: ການແກ້ສົມຜົນ trigonometric ບໍ່ແມ່ນເລື່ອງງ່າຍແລະມັກຈະນໍາໄປສູ່ຄວາມຜິດພາດ. ສະນັ້ນກວດເບິ່ງ ຄຳ ຕອບຂອງເຈົ້າຢ່າງລະມັດລະວັງ. ເພື່ອເຮັດສິ່ງນີ້, ເຈົ້າສາມາດໃຊ້ເຄື່ອງຄິດໄລ່ກຣາຟເພື່ອວາງແຜນສົມຜົນທີ່ໄດ້ໃຫ້ R (x) = 0. ໃນກໍລະນີດັ່ງກ່າວ, ວິທີແກ້ໄຂຈະຖືກນໍາສະ ເໜີ ເປັນເສດສ່ວນທົດສະນິຍົມ (ນັ້ນແມ່ນπຖືກແທນທີ່ດ້ວຍ 3.14).