ເນື້ອຫາ

• ຂໍ້ມູນເບື້ອງຕົ້ນ
• ຂັ້ນຕອນ
• ສ່ວນທີ 1 ຂອງ 3: ພື້ນຖານ
• ສ່ວນທີ 2 ຂອງ 3: ຄຸນສົມບັດຂອງການປ່ຽນຮູບ Laplace
• ພາກທີ 3 ຂອງ 3: ການຊອກຫາການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ໂດຍການຂະຫຍາຍຕົວຂອງລໍາດັບ

ການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ແມ່ນການຫັນປ່ຽນທີ່ບໍ່ມີຕົວຕົນທີ່ຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອແກ້ໄຂສົມຜົນຄວາມແຕກຕ່າງດ້ວຍຕົວຄູນຄົງທີ່. ການຫັນປ່ຽນນີ້ໄດ້ຖືກນໍາໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນດ້ານຟີຊິກສາດແລະວິສະວະກໍາ.

ໃນຂະນະທີ່ເຈົ້າສາມາດໃຊ້ຕາຕະລາງທີ່ເາະສົມ, ມັນເປັນປະໂຫຍດທີ່ຈະເຂົ້າໃຈການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ເພື່ອເຈົ້າຈະສາມາດເຮັດເອງໄດ້ຖ້າຈໍາເປັນ.

ຂໍ້ມູນເບື້ອງຕົ້ນ

• ໃຫ້ ໜ້າ ທີ່ ${ displaystyle ຮູບແບບ f (t)}$ກໍານົດສໍາລັບ ${ displaystyle t geq 0. }$ ຈາກນັ້ນ ການປ່ຽນແປງ Laplace ໜ້າ ທີ່ ${ displaystyle ຮູບແບບ f (t)}$ ແມ່ນ ໜ້າ ທີ່ຕໍ່ໄປຂອງແຕ່ລະຄ່າ ${ displaystyle s}$, ທີ່ຕົວເຊື່ອມໂຍງເຂົ້າກັນ:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• ການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ໃຊ້ ໜ້າ ທີ່ຈາກ t-region (ຂະ ໜາດ ເວລາ) ໄປຫາ s-region (ພາກພື້ນການປ່ຽນແປງ), ບ່ອນທີ່ ${ displaystyle F (s)}$ ເປັນຟັງຊັນທີ່ຊັບຊ້ອນຂອງຕົວປ່ຽນທີ່ຊັບຊ້ອນ. ມັນອະນຸຍາດໃຫ້ເຈົ້າຍ້າຍຟັງຊັນໄປຫາພື້ນທີ່ບ່ອນທີ່ສາມາດຊອກຫາທາງອອກໄດ້ງ່າຍກວ່າ.
• ແນ່ນອນ, ການຫັນປ່ຽນ Laplace ເປັນຕົວດໍາເນີນເສັ້ນ, ສະນັ້ນຖ້າພວກເຮົາກໍາລັງຈັດການກັບຜົນລວມຂອງຂໍ້ກໍານົດ, ແຕ່ລະສ່ວນສາມາດຄິດໄລ່ແຍກຕ່າງຫາກໄດ້.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• ຈື່ໄວ້ວ່າການຫັນປ່ຽນ Laplace ຈະເຮັດວຽກໄດ້ພຽງແຕ່ຖ້າຫາກວ່າປະສົມປະສານເຂົ້າກັນ. ຖ້າ ໜ້າ ທີ່ ${ displaystyle ຮູບແບບ f (t)}$ ມີຄວາມບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງກັນ, ມັນເປັນສິ່ງຈໍາເປັນທີ່ຈະຕ້ອງລະມັດລະວັງແລະກໍານົດຂອບເຂດຈໍາກັດຂອງການລວມເຂົ້າກັນຢ່າງຖືກຕ້ອງເພື່ອຫຼີກເວັ້ນຄວາມບໍ່ແນ່ນອນ.

ຂັ້ນຕອນ

ສ່ວນທີ 1 ຂອງ 3: ພື້ນຖານ

1. 1 ປ່ຽນ ໜ້າ ທີ່ເຂົ້າໄປໃນສູດການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace. ທາງດ້ານທິດສະດີ, ການຫັນປ່ຽນ ໜ້າ ທີ່ຂອງ Laplace ແມ່ນງ່າຍຫຼາຍໃນການຄິດໄລ່. ເປັນຕົວຢ່າງ, ພິຈາລະນາ ໜ້າ ທີ່ ${ displaystyle ຮູບແບບ f (t) = e ^ {ຢູ່}}$, ບ່ອນທີ່ ${ displaystyle a}$ ເປັນຄ່າຄົງທີ່ທີ່ຊັບຊ້ອນກັບ ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 ຄາດຄະເນການລວມເຂົ້າໂດຍໃຊ້ວິທີການທີ່ມີຢູ່. ໃນຕົວຢ່າງຂອງພວກເຮົາ, ການຄາດຄະເນແມ່ນງ່າຍດາຍຫຼາຍແລະເຈົ້າສາມາດຫາໄດ້ດ້ວຍການຄິດໄລ່ງ່າຍ simple. ໃນກໍລະນີທີ່ສະລັບສັບຊ້ອນຫຼາຍ, ອາດຈະຕ້ອງການວິທີການທີ່ຊັບຊ້ອນຫຼາຍຂຶ້ນ, ຕົວຢ່າງ: ການລວມເຂົ້າກັນໂດຍພາກສ່ວນຫຼືຄວາມແຕກຕ່າງພາຍໃຕ້ເຄື່ອງintegາຍລວມ. ສະພາບການຈໍາກັດ ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ meansາຍຄວາມວ່າການເຊື່ອມໂຍງເຂົ້າກັນ, ນັ້ນແມ່ນ, ມູນຄ່າຂອງມັນມີແນວໂນ້ມທີ່ຈະ 0 ເທົ່າກັບ ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} ຈົບ {ສອດຄ່ອງ}}}$
   • ກະລຸນາຮັບຊາບວ່າອັນນີ້ເຮັດໃຫ້ພວກເຮົາມີການປ່ຽນແປງ Laplace ສອງປະເພດ, ມີ sine ແລະ cosine, ຕັ້ງແຕ່ຕາມສູດຂອງ Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... ໃນກໍລະນີນີ້, ໃນຕົວຫານທີ່ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ ${ displaystyle s-ia,}$ ແລະມັນຍັງເຫຼືອພຽງການກໍານົດພາກສ່ວນຕົວຈິງແລະຈິນຕະນາການ. ເຈົ້າສາມາດປະເມີນຜົນໂດຍກົງໄດ້, ແຕ່ມັນຈະໃຊ້ເວລາອີກ ໜ້ອຍ ໜຶ່ງ.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 ພິຈາລະນາການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ຂອງຟັງຊັນໄຟຟ້າ. ທຳ ອິດ, ເຈົ້າຕ້ອງການ ກຳ ນົດການຫັນປ່ຽນຂອງ ໜ້າ ທີ່ ອຳ ນາດ, ເນື່ອງຈາກຄຸນສົມບັດ linearity ອະນຸຍາດໃຫ້ເຈົ້າຊອກຫາການຫັນປ່ຽນ ສຳ ລັບ ທັງຫມົດ ພະຫຸນາມ ໜ້າ ທີ່ຂອງແບບຟອມ ${ displaystyle t ^ {n},}$ ບ່ອນທີ່ ${ displaystyle n}$ - ຈຳ ນວນບວກໃດ any. ສາມາດປະສົມປະສານໄດ້ເທື່ອລະອັນເພື່ອກໍານົດກົດເກນຄືນໃ່.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • ຜົນໄດ້ຮັບນີ້ສະແດງອອກໂດຍທາງກົງກັນຂ້າມ, ແຕ່ຖ້າເຈົ້າປ່ຽນແທນຄ່າຫຼາຍອັນ ${ displaystyle n,}$ ເຈົ້າສາມາດສ້າງຮູບແບບສະເພາະ (ພະຍາຍາມເຮັດເອງ), ເຊິ່ງອະນຸຍາດໃຫ້ເຈົ້າໄດ້ຮັບຜົນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • ເຈົ້າຍັງສາມາດກໍານົດການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ຂອງອໍານາດເສດສ່ວນໂດຍໃຊ້ຟັງຊັນ gamma. ຕົວຢ່າງ, ດ້ວຍວິທີນີ້ເຈົ້າສາມາດຊອກຫາການປ່ຽນແປງຂອງຟັງຊັນເຊັ່ນ ${ displaystyle ຮູບແບບ f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}}$
   • ເຖິງແມ່ນວ່າຟັງຊັນທີ່ມີ ອຳ ນາດເສດສ່ວນຈະຕ້ອງມີການຕັດອອກ (ຈື່ໄວ້, ຕົວເລກຊັບຊ້ອນໃດ ໜຶ່ງ ${ displaystyle z}$ ແລະ ${ displaystyle alpha}$ ສາມາດຂຽນເປັນ ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, ເພາະວ່າ ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), ພວກມັນສາມາດຖືກກໍານົດໄດ້ສະເinີໃນລັກສະນະທີ່ການຕັດຢູ່ໃນເຄິ່ງເບື້ອງຊ້າຍຂອງຍົນ, ແລະດັ່ງນັ້ນຈິ່ງຫຼີກເວັ້ນບັນຫາກ່ຽວກັບການວິເຄາະ.

ສ່ວນທີ 2 ຂອງ 3: ຄຸນສົມບັດຂອງການປ່ຽນຮູບ Laplace

1. 1 ໃຫ້ພວກເຮົາຊອກຫາການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ຂອງຟັງຊັນຄູນດ້ວຍ ຈກt{ displaystyle e ^ {ຢູ່}}. ຜົນໄດ້ຮັບທີ່ໄດ້ຮັບໃນພາກກ່ອນນີ້ໄດ້ອະນຸຍາດໃຫ້ພວກເຮົາຊອກຫາບາງຄຸນສົມບັດທີ່ ໜ້າ ສົນໃຈຂອງການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace. Laplace ຫັນປ່ຽນ ໜ້າ ທີ່ເຊັ່ນ: cosine, sine, ແລະ exponential function ເບິ່ງຄືວ່າຈະງ່າຍກວ່າການປ່ຽນ ໜ້າ ທີ່ຂອງພະລັງງານ. ການຄູນດ້ວຍ ${ displaystyle e ^ {ຢູ່}}$ ໃນພາກພື້ນ t ແມ່ນເທົ່າກັບ ປ່ຽນ ໃນຂົງເຂດ s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • ຊັບສິນນີ້ທັນທີຊ່ວຍໃຫ້ເຈົ້າຊອກຫາການຫັນປ່ຽນ ໜ້າ ທີ່ຕ່າງ. ເຊັ່ນ ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, ໂດຍບໍ່ ຈຳ ເປັນຕ້ອງຄິດໄລ່ສ່ວນປະກອບ:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 ໃຫ້ພວກເຮົາຊອກຫາການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ຂອງຟັງຊັນຄູນດ້ວຍ tn{ displaystyle t ^ {n}}. ທຳ ອິດ, ພິຈາລະນາຄູນດ້ວຍ ${ displaystyle t}$... ຕາມຄໍານິຍາມ, ຄົນເຮົາສາມາດແຍກຄວາມແຕກຕ່າງຂອງ ໜ້າ ທີ່ພາຍໃຕ້ການລວມເຂົ້າກັນແລະໄດ້ຮັບຜົນງ່າຍ simple ທີ່ແປກໃຈ:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • ການເຮັດຊ້ ຳ ຄືນການປະຕິບັດງານນີ້, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບຜົນສຸດທ້າຍ:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • ເຖິງແມ່ນວ່າການຈັດລະບຽບຕົວປະຕິບັດການເຊື່ອມໂຍງແລະຄວາມແຕກຕ່າງຄືນໃrequires່ຮຽກຮ້ອງໃຫ້ມີເຫດຜົນເພີ່ມເຕີມບາງອັນ, ພວກເຮົາຈະບໍ່ນໍາສະ ເໜີ ມັນຢູ່ບ່ອນນີ້, ແຕ່ໃຫ້ສັງເກດວ່າການດໍາເນີນການນີ້ຖືກຕ້ອງຖ້າຜົນສຸດທ້າຍມີຄວາມsenseາຍ. ເຈົ້າຍັງສາມາດ ຄຳ ນຶງເຖິງຄວາມຈິງທີ່ວ່າຕົວແປຕ່າງ ${ displaystyle s}$ ແລະ ${ displaystyle t}$ ບໍ່ຂຶ້ນກັບກັນແລະກັນ.
   • ການນໍາໃຊ້ກົດລະບຽບນີ້, ມັນງ່າຍທີ່ຈະຊອກຫາການຫັນປ່ຽນຂອງຟັງຊັນເຊັ່ນ ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, ໂດຍບໍ່ມີການລວມຕົວຄືນໃby່ໂດຍພາກສ່ວນ:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 ຊອກຫາການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ຂອງຟັງຊັນ ສ(ກt){ displaystyle f (ຢູ່)}. ອັນນີ້ສາມາດເຮັດໄດ້ງ່າຍໂດຍການປ່ຽນຕົວປ່ຽນດ້ວຍ u ໂດຍໃຊ້ຄໍານິຍາມຂອງການຫັນປ່ຽນ:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • ຢູ່ຂ້າງເທິງ, ພວກເຮົາພົບເຫັນການປ່ຽນ ໜ້າ ທີ່ຂອງ Laplace ${ displaystyle sin ຢູ່}$ ແລະ ${ displaystyle cos ຢູ່ທີ່}$ ໂດຍກົງຈາກຟັງຊັນເລກກໍາລັງ. ການນໍາໃຊ້ຊັບສິນນີ້, ເຈົ້າສາມາດໄດ້ຮັບຜົນຄືກັນຖ້າເຈົ້າພົບເຫັນພາກສ່ວນຕົວຈິງແລະຈິນຕະນາການ ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 ຊອກຫາການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ຂອງອະນຸພັນ ສ′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. ບໍ່ຄືກັບຕົວຢ່າງທີ່ຜ່ານມາ, ໃນກໍລະນີນີ້ ຈໍາ​ຕ້ອງ ປະສົມປະສານເທື່ອລະສ່ວນ:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} ໃຫຍ່ _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • ເນື່ອງຈາກອະນຸພັນທີສອງເກີດຂຶ້ນໃນຫຼາຍບັນຫາທາງກາຍ, ພວກເຮົາພົບການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ໃຫ້ມັນຄືກັນ:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • ໃນກໍລະນີທົ່ວໄປ, ການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ຂອງອະນຸພັນຄໍາສັ່ງ nth ແມ່ນໄດ້ກໍານົດດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້ (ອັນນີ້ອະນຸຍາດໃຫ້ແກ້ໄຂສົມຜົນແຕກຕ່າງໂດຍໃຊ້ການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

ພາກທີ 3 ຂອງ 3: ການຊອກຫາການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ໂດຍການຂະຫຍາຍຕົວຂອງລໍາດັບ

1. 1 ໃຫ້ພວກເຮົາຊອກຫາການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ສຳ ລັບຟັງຊັນແຕ່ລະໄລຍະ. ໜ້າ ທີ່ແຕ່ລະໄລຍະຕອບສະ ໜອງ ເງື່ອນໄຂ ${ displaystyle ຮູບແບບ f (t) = f (t + nT),}$ ບ່ອນທີ່ ${ displaystyle T}$ ແມ່ນໄລຍະເວລາຂອງ ໜ້າ ທີ່, ແລະ ${ displaystyle n}$ ເປັນ ຈຳ ນວນເຕັມບວກ. ໜ້າ ທີ່ແຕ່ລະໄລຍະໄດ້ຖືກ ນຳ ໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງໃນການ ນຳ ໃຊ້ຫຼາຍຢ່າງ, ລວມທັງການປະມວນຜົນສັນຍານແລະວິສະວະ ກຳ ໄຟຟ້າ. ການນໍາໃຊ້ການຫັນປ່ຽນງ່າຍ simple, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບຜົນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { ຈັດລຽງແລ້ວ}}}$
   • ດັ່ງທີ່ເຈົ້າສາມາດເຫັນໄດ້, ໃນກໍລະນີຂອງການເຮັດ ໜ້າ ທີ່ແຕ່ລະໄລຍະ, ມັນພຽງພໍທີ່ຈະເຮັດການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ເປັນໄລຍະເວລານຶ່ງ.
2. 2 ປະຕິບັດການປ່ຽນແປງ Laplace ສໍາລັບໂລກາລິດທໍາມະຊາດ. ໃນກໍລະນີນີ້, ຕົວເລກບໍ່ສາມາດສະແດງອອກໃນຮູບແບບຂອງ ໜ້າ ທີ່ຂັ້ນປະຖົມ. ການໃຊ້ຟັງຊັນແກມມາແລະການຂະຫຍາຍຕົວເລກຂອງມັນເຮັດໃຫ້ເຈົ້າສາມາດຄາດຄະເນໂລກາລິດທໍາມະຊາດແລະລະດັບຂອງມັນໄດ້. ການປະກົດຕົວຂອງຄົງທີ່ຂອງ Euler-Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າເພື່ອຄາດຄະເນສ່ວນປະກອບນີ້, ມັນຈໍາເປັນຕ້ອງໃຊ້ການຂະຫຍາຍຕົວເລກຊຸດ.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 ພິຈາລະນາການຫັນປ່ຽນ Laplace ຂອງ ໜ້າ ທີ່ການເຮັດວຽກຂອງຊິນທີ່ຜິດປົກກະຕິ. ໜ້າ ທີ່ ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ ນໍາໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງສໍາລັບການປະມວນຜົນສັນຍານ, ໃນສົມຜົນຄວາມແຕກຕ່າງມັນທຽບເທົ່າກັບການທໍາງານຂອງ Bessel ວົງມົນຂອງປະເພດທໍາອິດແລະຄໍາສັ່ງສູນ. ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ ການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ຂອງ ໜ້າ ທີ່ນີ້ຍັງບໍ່ສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດ້ວຍວິທີມາດຕະຖານ. ໃນກໍລະນີນີ້, ການຫັນປ່ຽນສະມາຊິກແຕ່ລະຄົນຂອງຊຸດ, ເຊິ່ງເປັນ ໜ້າ ທີ່ອໍານາດ, ໄດ້ດໍາເນີນໄປ, ສະນັ້ນການຫັນປ່ຽນຂອງເຂົາເຈົ້າຈິ່ງຈໍາເປັນຕ້ອງປະສານກັນໃນຊ່ວງເວລາທີ່ກໍານົດໄວ້.
   • ທຳ ອິດ, ພວກເຮົາຂຽນການຂະຫຍາຍ ໜ້າ ທີ່ໃນຊຸດ Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • ດຽວນີ້ພວກເຮົາໃຊ້ການປ່ຽນແປງຂອງ Laplace ທີ່ຮູ້ຈັກແລ້ວຂອງການເຮັດວຽກຂອງພະລັງງານ. Factorials ຖືກຍົກເລີກ, ແລະດັ່ງນັ້ນ, ພວກເຮົາໄດ້ຮັບການຂະຫຍາຍຕົວ Taylor ສໍາລັບເຂດທະເລ, ນັ້ນແມ່ນຊຸດສະລັບທີ່ຄ້າຍຄືກັບຊຸດ Taylor ສໍາລັບ sine, ແຕ່ບໍ່ມີຕົວປະກອບ:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$