ເນື້ອຫາ

• ເພື່ອກ້າວ
• ພາກທີ 1 ຂອງ 3: ພື້ນຖານການວິເຄາະ
• ສ່ວນທີ 2 ຂອງ 3: ເຂົ້າໃຈອະນຸພັນ
• ພາກທີ 3 ຂອງ 3: ເຂົ້າໃຈຄວາມສາມາດລວມ
• ຄຳ ແນະ ນຳ

ການວິເຄາະ (ຍັງເອີ້ນວ່າການຄິດໄລ່) ແມ່ນສາຂາຂອງຄະນິດສາດທີ່ສຸມໃສ່ຂອບເຂດ ຈຳ ກັດ, ໜ້າ ທີ່, ອະນຸພັນ, ການເຊື່ອມໂຍງແລະຊຸດທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ. ວິຊານີ້ກວມເອົາຫຼາຍຄະນິດສາດ, ແລະ underlies ຫຼາຍສູດແລະສົມຜົນທີ່ໃຊ້ໃນຟີຊິກແລະກົນຈັກ. ທ່ານຄົງຈະຕ້ອງໄດ້ມີຄະນິດສາດຫລາຍປີໃນໂຮງຮຽນມັດທະຍົມຕອນຕົ້ນເພື່ອເຂົ້າໃຈການວິເຄາະຢ່າງຖືກຕ້ອງ, ແຕ່ບົດຂຽນນີ້ຈະເຮັດໃຫ້ທ່ານເລີ່ມຕົ້ນຮຽນຮູ້ເພື່ອຮັບຮູ້ແນວຄິດທີ່ ສຳ ຄັນພ້ອມທັງມີຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບທິດສະດີຕື່ມອີກ.

ເພື່ອກ້າວ

ພາກທີ 1 ຂອງ 3: ພື້ນຖານການວິເຄາະ

1. ການວິເຄາະແມ່ນການສຶກສາກ່ຽວກັບສິ່ງທີ່ປ່ຽນແປງ. ການວິເຄາະແມ່ນສາຂາຂອງຄະນິດສາດທີ່ກວດກາເບິ່ງຕົວເລກແລະກາຟທີ່ມັກຈະເອົາມາຈາກຂໍ້ມູນຕົວຈິງແລະອະທິບາຍວ່າມັນປ່ຽນແປງແນວໃດ. ໃນຂະນະທີ່ສິ່ງນີ້ເບິ່ງຄືວ່າບໍ່ມີປະໂຫຍດຫຼາຍໃນຕອນ ທຳ ອິດ, ການວິເຄາະແມ່ນ ໜຶ່ງ ໃນສາຂາທີ່ມັກໃຊ້ຂອງຄະນິດສາດ. ຈິນຕະນາການວ່າມີເຄື່ອງມືທີ່ຈະບອກທ່ານວ່າທຸລະກິດຂອງທ່ານເຕີບໃຫຍ່ໄວໃນເວລາໃດກໍ່ຕາມ, ຫຼືວິທີການ ກຳ ນົດແຜນການຂອງຍານອະວະກາດ, ແລະການ ນຳ ໃຊ້ນ້ ຳ ມັນຂອງມັນໄວເທົ່າໃດ. ການວິເຄາະແມ່ນເຄື່ອງມືທີ່ ສຳ ຄັນທາງດ້ານວິສະວະ ກຳ, ເສດຖະກິດ, ສະຖິຕິ, ເຄມີສາດແລະຟີຊິກສາດ, ແລະໄດ້ປະກອບສ່ວນເຂົ້າໃນການປະດິດສ້າງແລະການຄົ້ນພົບຫຼາຍຢ່າງ.
2. ຟັງຊັນແມ່ນຄວາມ ສຳ ພັນລະຫວ່າງສອງຕົວເລກແລະຖືກໃຊ້ ສຳ ລັບຄວາມ ສຳ ພັນແຜນທີ່. ພວກເຂົາແມ່ນກົດລະບຽບ ສຳ ລັບຄວາມ ສຳ ພັນລະຫວ່າງຕົວເລກ, ແລະນັກຄະນິດສາດ ນຳ ໃຊ້ພວກມັນເພື່ອສ້າງເສັ້ນສະແດງ. ໃນ ໜ້າ ທີ່ໃດ ໜຶ່ງ, ການປ້ອນຂໍ້ມູນແຕ່ລະຢ່າງມີຜົນໄດ້ຮັບຢ່າງແນ່ນອນ. ຕົວຢ່າງ: ໃນ ${ displaystyle y = 2x + 4,}$ຄິດກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດຂອງ infinity. Infinity ແມ່ນການຄ້າງຫ້ອງທີ່ຄົງທີ່ຂອງຂະບວນການ ໜຶ່ງ. ມັນບໍ່ແມ່ນສະຖານທີ່ສະເພາະ (ທ່ານບໍ່ສາມາດໄປຫາຄວາມເປັນນິດໄດ້), ແຕ່ແມ່ນພຶດຕິ ກຳ ຂອງຕົວເລກຫຼືສົມຜົນ, ຖ້າເຮັດຕະຫຼອດໄປ. ນີ້ແມ່ນສິ່ງທີ່ ສຳ ຄັນ ສຳ ລັບການສຶກສາການປ່ຽນແປງ: ທ່ານອາດຕ້ອງການຢາກຮູ້ວ່າລົດຂອງທ່ານ ກຳ ລັງເຄື່ອນຍ້າຍໄດ້ໄວປານໃດໃນຊ່ວງເວລາໃດ ໜຶ່ງ, ແຕ່ວ່າລົດຂອງທ່ານ ກຳ ລັງ ເໜັງ ຕີງປານໃດໃນວິນາທີປັດຈຸບັນ? Millisecond ບໍ? Nanosecond? ທ່ານສາມາດຊອກຫາຊິ້ນສ່ວນນ້ອຍໆທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດຂອງເວລາເພື່ອໃຫ້ມີຄວາມຊັດເຈນກວ່າ, ແລະນັ້ນແມ່ນເວລາທີ່ການວິເຄາະເຂົ້າມາ.
3. ເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດຂອງຂໍ້ ຈຳ ກັດ. ຂອບເຂດຈໍາກັດບອກທ່ານສິ່ງທີ່ເກີດຂື້ນໃນເວລາທີ່ບາງສິ່ງບາງຢ່າງເຂົ້າໃກ້ infinity. ເອົາເລກ 1 ແລະແບ່ງມັນລົງໂດຍ 2. ສືບຕໍ່ແບ່ງອອກເປັນ 2 ເທື່ອຕໍ່ໆກັນ. 1 ກາຍເປັນ 1/2 ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນ 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ແລະອື່ນໆໃນແຕ່ລະຄັ້ງ ຈຳ ນວນນ້ອຍລົງແລະນ້ອຍລົງ, "ໃກ້ຈະສູນ". ແຕ່ມັນຢຸດຢູ່ໃສ? ທ່ານຕ້ອງແບ່ງ ຈຳ ນວນ 1 ເທື່ອ 2 ເທົ່າໃດເພື່ອໃຫ້ໄດ້ສູນ? ແທນທີ່ຈະຕອບ ຄຳ ຖາມນີ້, ໃນການວິເຄາະທ່ານຕັ້ງ ໜຶ່ງ ຂີດ ຈຳ ກັດ ໃນກໍລະນີນີ້, ຂີດ ຈຳ ກັດແມ່ນ.
   • ຂໍ້ ຈຳ ກັດແມ່ນງ່າຍທີ່ສຸດໃນການເບິ່ງເຫັນໃນກາຟ - ຕົວຢ່າງ, ມີຈຸດໃດແດ່ທີ່ເສັ້ນສະແດງເກືອບຈະ ສຳ ຜັດ, ແຕ່ບໍ່ເຄີຍຄ່ອນຂ້າງ?
   • ຂີດ ຈຳ ກັດສາມາດເປັນຕົວເລກ, ບໍ່ມີຂອບເຂດຫລືແມ້ກະທັ້ງບໍ່ມີ. ຍົກຕົວຢ່າງ, ດ້ວຍ ລຳ ດັບເພີ່ມເຕີມ 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... ແລະນີ້ຍັງສືບຕໍ່ບໍ່ແນ່ນອນ, ຕົວເລກສຸດທ້າຍກາຍເປັນ ຈຳ ນວນບໍ່ ຈຳ ກັດ. ຂອບເຂດຈໍາກັດຫຼັງຈາກນັ້ນຈະກາຍເປັນນິດ.
4. ທົບທວນແນວຄວາມຄິດທາງຄະນິດສາດທີ່ ສຳ ຄັນຂອງພຶດຊະຄະນິດ, trigonometry, ແລະພື້ນຖານຂອງຄະນິດສາດ. ການວິເຄາະແມ່ນຂື້ນກັບຄະນິດສາດທີ່ທ່ານໄດ້ຮຽນມາກ່ອນ. ການໃຫ້ຂໍ້ມູນໄດ້ດີກ່ຽວກັບທຸກຫົວຂໍ້ເຮັດໃຫ້ມັນງ່າຍຕໍ່ການຮຽນຮູ້ແລະເຂົ້າໃຈການວິເຄາະ. ບາງຫົວຂໍ້ທີ່ຈະຖູແຂ້ວແມ່ນ:
   • ຄະນິດສາດ. ທ່ານ ຈຳ ເປັນຕ້ອງເຂົ້າໃຈຂະບວນການຕ່າງໆແລະສາມາດແກ້ໄຂສົມຜົນແລະລະບົບຂອງສົມຜົນທີ່ມີຫລາຍຕົວປ່ຽນແປງ. ເຂົ້າໃຈພື້ນຖານຂອງການເກັບ ກຳ ຂໍ້ມູນ. ປະຕິບັດການສ້າງກາຟ.
   • ເລຂາຄະນິດ. ເລຂາຄະນິດແມ່ນການສຶກສາຮູບຮ່າງ. ທ່ານຄວນມີຄວາມຮູ້ພື້ນຖານກ່ຽວກັບສາມຫຼ່ຽມ, ສີ່ຫລ່ຽມ, ແລະວົງກົມ, ແລະວິທີການຄິດໄລ່ສິ່ງຕ່າງໆເຊັ່ນ: ຂອບເຂດແລະພື້ນທີ່. ເຂົ້າໃຈມຸມ, ສາຍແລະຈຸດພິກັດ
   • Trigonometry. Trigonometry ແມ່ນສາຂາຂອງຄະນິດສາດທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບຄຸນສົມບັດຂອງວົງກົມແລະສາມຫລ່ຽມຂວາ. ຮູ້ວິທີການ ນຳ ໃຊ້ຕົວຊີ້ວັດຂອງ trigonometric, graphs, function ແລະ inverse trigonometric functions.
5. ຊື້ເຄື່ອງຄິດໄລ່ກາຟິກ. ການວິເຄາະບໍ່ເຂົ້າໃຈງ່າຍໂດຍບໍ່ຕ້ອງເບິ່ງວ່າທ່ານ ກຳ ລັງເຮັດຫຍັງຢູ່. ເຄື່ອງຄິດໄລ່ກາຟິກເຮັດໃຫ້ຫນ້າທີ່ເບິ່ງເຫັນເພື່ອວ່າທ່ານຈະສາມາດເຂົ້າໃຈໄດ້ດີກວ່າສິ່ງທີ່ສົມຜົນທີ່ທ່ານ ກຳ ລັງຈັດການກັບ. ປົກກະຕິແລ້ວຂອບເຂດຈໍາກັດຍັງຖືກສະແດງຢູ່ໃນຫນ້າຈໍ, ແລະອະນຸພັນແລະຫນ້າທີ່ຖືກຄິດໄລ່ໂດຍອັດຕະໂນມັດ.
   • ມື້ນີ້ໂທລະສັບສະມາດໂຟນແລະແທັບເລັດຫລາຍແຫ່ງມີໂປແກຼມກາຟິກລາຄາບໍ່ແພງແຕ່ມີປະສິດຕິພາບຖ້າທ່ານບໍ່ຕ້ອງການຫລືບໍ່ສາມາດຊື້ເຄື່ອງຄິດໄລ່ກາຟິກໄດ້.

ສ່ວນທີ 2 ຂອງ 3: ເຂົ້າໃຈອະນຸພັນ

1. ການວິເຄາະແມ່ນໃຊ້ເພື່ອສຶກສາ“ ປ່ຽນແປງໃນເວລາສະເພາະ”. ການຮູ້ວ່າເປັນຫຍັງບາງສິ່ງບາງຢ່າງປ່ຽນແປງໃນເວລາທີ່ແນ່ນອນແມ່ນຫຼັກຂອງການວິເຄາະ. ຕົວຢ່າງ, ການວິເຄາະໃຫ້ທ່ານບໍ່ພຽງແຕ່ຄວາມໄວຂອງລົດເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ວ່າຄວາມໄວຈະປ່ຽນແປງຫຼາຍເທົ່າໃດໃນເວລາໃດກໍ່ຕາມ. ນີ້ແມ່ນ ໜຶ່ງ ໃນການ ນຳ ໃຊ້ການວິເຄາະແບບງ່າຍດາຍ, ແຕ່ ສຳ ຄັນທີ່ສຸດ. ລອງນຶກພາບເບິ່ງວ່າຂໍ້ມູນດັ່ງກ່າວມີຄວາມ ສຳ ຄັນແນວໃດໃນການ ກຳ ນົດຄວາມໄວທີ່ມັນຕ້ອງໃຊ້ໃນການຂຶ້ນສູ່ອະວະກາດ!
   • ການ ກຳ ນົດການປ່ຽນແປງໃນຈຸດໃດ ໜຶ່ງ ໃນເວລາມີ ແຕກຕ່າງ. ຄວາມແຕກຕ່າງແມ່ນ ໜຶ່ງ ໃນສອງສາຂາໃຫຍ່ຂອງການວິເຄາະ.
2. ໃຊ້ອະນຸພັນເພື່ອເຂົ້າໃຈວ່າສິ່ງຕ່າງໆມີການປ່ຽນແປງໃນເວລາໃດ ໜຶ່ງ. ຄຳ ວ່າ“ ອະນຸພັນ” ແມ່ນ ຄຳ ສັບທີ່ດີ ສຳ ລັບບາງສິ່ງບາງຢ່າງທີ່ເຮັດໃຫ້ນັກຮຽນຮູ້ສຶກຫງຸດຫງິດ. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ແນວຄິດນັ້ນເອງກໍ່ບໍ່ຍາກທີ່ຈະເຂົ້າໃຈ - ມັນພຽງແຕ່ ໝາຍ ຄວາມວ່າ "ມີການປ່ຽນແປງຢ່າງໄວວາແນວໃດ." ເອກະສານອ້າງອີງທີ່ທ່ານຈະພົບກັບຫຼາຍທີ່ສຸດໃນຊີວິດປະ ຈຳ ວັນຕ້ອງເຮັດດ້ວຍຄວາມໄວ. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ທ່ານມັກຈະບໍ່ເອີ້ນມັນວ່າ "ອະນຸພັນຂອງຄວາມໄວ", ແຕ່ວ່າ "ການເລັ່ງ."
   • ການເລັ່ງແມ່ນອະນຸພັນ - ມັນບອກທ່ານວ່າບາງສິ່ງບາງຢ່າງເລັ່ງໄວຫລືຊ້າລົງຫລືວ່າຄວາມໄວຂອງມັນປ່ຽນແປງແນວໃດ.
3. ຮູ້ວ່າອັດຕາການປ່ຽນແປງເທົ່າກັບຄວາມຄ້ອຍຊັນລະຫວ່າງສອງຈຸດ. ນີ້ແມ່ນ ໜຶ່ງ ໃນການຄົ້ນພົບທີ່ ສຳ ຄັນທີ່ສຸດຂອງການວິເຄາະ. ອັດຕາການປ່ຽນແປງລະຫວ່າງສອງຈຸດແມ່ນເທົ່າກັບຄ້ອຍຂອງເສັ້ນລະຫວ່າງສອງຈຸດເຫຼົ່ານັ້ນ. ພຽງແຕ່ຄິດເຖິງເສັ້ນທີ່ງ່າຍດາຍເຊັ່ນເສັ້ນສະມະການ ${ displaystyle y = 3 ເທົ່າ.}$ຮູ້ວ່າທ່ານສາມາດ ກຳ ນົດຄວາມຄ້ອຍຂອງເສັ້ນໂຄ້ງ. ການ ກຳ ນົດຄວາມຄ້ອຍຊັນຂອງເສັ້ນຊື່ແມ່ນຂ້ອນຂ້າງງ່າຍ: ການປ່ຽນແປງຫຼາຍປານໃດ ${ displaystyle y}$ຖ້າທ່ານຕ້ອງການຄິດໄລ່ການປ່ຽນແປງຢ່າງຖືກຕ້ອງ, ໃຫ້ແນ່ໃຈວ່າຈຸດຕ່າງໆແມ່ນໃກ້ຊິດກັບກັນແລະກັນ. ທ່ານໃກ້ຊິດເລືອກສອງຈຸດ, ຄຳ ຕອບຂອງທ່ານຖືກຕ້ອງຫຼາຍເທົ່າໃດ. ສົມມຸດວ່າທ່ານຢາກຮູ້ວ່າລົດຂອງທ່ານເລັ່ງເທົ່າໃດເມື່ອທ່ານກົດປຸ່ມເລັ່ງ. ທ່ານບໍ່ຕ້ອງການທີ່ຈະວັດແທກການປ່ຽນແປງຄວາມໄວລະຫວ່າງເຮືອນຂອງທ່ານແລະສັບພະສິນຄ້າ, ແຕ່ວ່າການປ່ຽນແປງຄວາມໄວຈາກເວລາທີ່ທ່ານຕີກັບເຄື່ອງເລັ່ງ. ການອ່ານຂອງທ່ານໃກ້ຈະເຂົ້າໃກ້ການແບ່ງປັນຄັ້ງທີສອງ, ການຄິດໄລ່ການປ່ຽນແປງຂອງທ່ານຈະຖືກຕ້ອງກວ່າເກົ່າ.
   • ຍົກຕົວຢ່າງ, ນັກວິທະຍາສາດ ກຳ ລັງສືບສວນວ່າສັດບາງຊະນິດຈະສູນພັນໄປຢ່າງໄວວາເພື່ອຈະຊ່ວຍຊີວິດພວກມັນໄດ້ແນວໃດ. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ສັດຈະຕາຍໃນລະດູ ໜາວ ຫຼາຍກ່ວາລະດູຮ້ອນ, ສະນັ້ນມັນບໍ່ເປັນປະໂຫຍດທີ່ຈະສຶກສາອັດຕາການປ່ຽນແປງຕະຫຼອດປີ - ມັນກໍ່ດີກວ່າທີ່ຈະ ກຳ ນົດອັດຕາການປ່ຽນແປງພາຍໃນໄລຍະເວລາທີ່ນ້ອຍກວ່າເຊັ່ນ: ວັນທີ 1 ກໍລະກົດຫາ 1 ສິງຫາ.
4. ໃຊ້ສາຍສັ້ນທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດເພື່ອ ກຳ ນົດ "ອັດຕາການປ່ຽນແປງທັນທີ," ຫຼືຊອກຫາອະນຸພັນ. ນີ້ແມ່ນບ່ອນທີ່ການວິເຄາະມັກຈະມີຄວາມສັບສົນ, ແຕ່ຕົວຈິງແລ້ວມັນແມ່ນຜົນມາຈາກສອງຂໍ້ເທັດຈິງທີ່ງ່າຍດາຍ. ກ່ອນອື່ນ ໝົດ, ທ່ານຮູ້ບໍ່ວ່າຄວາມຄ້ອຍຊັນຂອງເສັ້ນແມ່ນເທົ່າກັບຄວາມໄວຂອງເສັ້ນນັ້ນປ່ຽນແປງ. ອັນທີສອງ, ທ່ານຮູ້ວ່າຈຸດທີ່ໃກ້ຊິດຂອງສາຍແມ່ນໃກ້ຊິດກັບກັນແລະກັນ, ການອ່ານຈະຖືກຕ້ອງຫຼາຍຂື້ນ. ແຕ່ທ່ານຈະຮູ້ອັດຕາການປ່ຽນແປງໃນຈຸດໃດ ໜຶ່ງ ຖ້າວ່າເປີ້ນພູແມ່ນຄວາມ ສຳ ພັນລະຫວ່າງສອງຈຸດ? ຄໍາ​ຕອບ: ທ່ານເລືອກສອງຈຸດທີ່ຢູ່ໃກ້ກັນແລະກັນຢ່າງບໍ່ຢຸດຢັ້ງ.
   • ພິຈາລະນາຕົວຢ່າງທີ່ທ່ານແບ່ງ 1 ໂດຍ 2, ດັ່ງນັ້ນຈຶ່ງໄດ້ຮັບ 1/2, 1/4, 1/8, ແລະອື່ນໆ. ດັ່ງນັ້ນໃນທີ່ສຸດທ່ານຈະເຂົ້າໃກ້ສູນ, ແລະ ຄຳ ຕອບກໍ່ແມ່ນ "ເກືອບສູນ". ຈຸດຕ່າງໆແມ່ນໃກ້ຄຽງກັນຫຼາຍຈົນວ່າພວກເຂົາ“ ເກືອບເທົ່າກັນ”. ນີ້ແມ່ນລັກສະນະຂອງອະນຸພັນ.
5. ຮຽນຮູ້ວິທີການກໍານົດອະນຸພັນຕ່າງໆ. ມີໂຕນເຕັກນິກທີ່ແຕກຕ່າງກັນ ສຳ ລັບການຄົ້ນຫາອະນຸພັນໂດຍອີງຕາມສົມຜົນ, ແຕ່ສ່ວນໃຫຍ່ມັນມີຄວາມ ໝາຍ ຖ້າທ່ານໄດ້ຈົດ ຈຳ ພື້ນຖານຂອງອະນຸພັນຂ້າງເທິງ. ເອກະສານອ້າງອີງທັງ ໝົດ ແມ່ນວິທີການຄົ້ນຫາເປີ້ນພູຂອງສາຍ“ infinitesimal”. ໃນປັດຈຸບັນທີ່ທ່ານຮູ້ຫຼາຍກ່ຽວກັບທິດສະດີອະນຸພັນ, ວຽກງານສ່ວນໃຫຍ່ແມ່ນຢູ່ໃນການຊອກຫາ ຄຳ ຕອບ.
6. ຊອກຫາສົມຜົນທີ່ໄດ້ມາເພື່ອຄາດຄະເນອັດຕາການປ່ຽນແປງໄດ້ທຸກເວລາ. ມັນເປັນປະໂຫຍດທີ່ຈະໃຊ້ອະນຸພັນເພື່ອ ກຳ ນົດອັດຕາການປ່ຽນແປງໃນເວລາໃດກໍ່ຕາມ, ແຕ່ຄວາມງາມຂອງການວິເຄາະແມ່ນທ່ານສາມາດສ້າງຮູບແບບ ໃໝ່ ສຳ ລັບ ໜ້າ ທີ່ໃດໆ. ອະນຸພັນຂອງ ${ displaystyle y = x ^ {2},}$ຖ້າທ່ານຮູ້ວ່າມັນຍາກທີ່ຈະເຂົ້າໃຈ, ພະຍາຍາມຈື່ຕົວຢ່າງໃນຊີວິດຈິງຂອງອະນຸພັນ. ຕົວຢ່າງທີ່ງ່າຍທີ່ສຸດແມ່ນອີງໃສ່ຄວາມໄວ, ເຊິ່ງລວມເອົາຫລາຍອະນຸພັນທີ່ແຕກຕ່າງກັນທີ່ພວກເຮົາພົບໃນທຸກໆມື້. ຢ່າ​ລືມ: ອະນຸພັນແມ່ນການວັດແທກຂອງບາງສິ່ງບາງຢ່າງທີ່ປ່ຽນແປງຢ່າງໄວວາ. ຄິດເຖິງການທົດລອງທີ່ລຽບງ່າຍ. ທ່ານມ້ວນຫິນອ່ອນໃສ່ໂຕະແລະວັດແທກວ່າມັນເຄື່ອນ ເໜັງ ເທົ່າໃດແລະມັນຈະໄວເທົ່າໃດໃນແຕ່ລະຄັ້ງ. ຕອນນີ້ຈິນຕະນາການວ່າກະໂລ້ມ້ວນປະຕິບັດຕາມເສັ້ນໃນກາຟ - ທ່ານ ກຳ ລັງໃຊ້ອະນຸພັນເພື່ອວັດແທກການປ່ຽນແປງທັນທີໃນທຸກເວລາໃນເສັ້ນນັ້ນ.
   • ການເຄື່ອນຍ້າຍຂອງ marble ໄດ້ໄວປານໃດ? ຕຳ ແໜ່ງ (ຫລືອະນຸພັນ) ຂອງການປ່ຽນແປງຫິນອ່ອນທີ່ເຄື່ອນຍ້າຍຢູ່ໃນຄວາມໄວໃດ? ພວກເຮົາເອີ້ນວ່າອະນຸພັນນີ້ແມ່ນ "ຄວາມໄວ".
   • ມ້ວນຫິນອ່ອນຕາມເປີ້ນພູແລະສັງເກດວິທີການປ່ຽນແປງຄວາມໄວ. ອັດຕາການປ່ຽນແປງຫລືອະນຸພັນຂອງຄວາມໄວຂອງຫິນອ່ອນແມ່ນຫຍັງ? ອະນຸພັນນີ້ແມ່ນສິ່ງທີ່ພວກເຮົາເອີ້ນວ່າ "ການເລັ່ງ".
   • ມ້ວນຫິນອ່ອນຕາມເສັ້ນທາງຄື້ນ, ເຊັ່ນ: ລໍ້ລວດລາຍ. ຄວາມໄວຂອງຫິນອ່ອນມີຄວາມໄວຂະ ໜາດ ໃດເມື່ອມັນເລື່ອນລົງ, ແລະຫິນອ່ອນລົງເທິງພູ? ມັນບໍ່ໄວປານໃດເວລາມັນຂຶ້ນເຄິ່ງ ໜຶ່ງ ຂອງເນີນພູ ໜ່ວຍ ທຳ ອິດ? ນີ້ແມ່ນອັດຕາການປ່ຽນແປງທີ່ເກີດຂື້ນໂດຍໄວ, ຫຼືຕົວຫຍໍ້, ຂອງຫິນອ່ອນນັ້ນໃນຈຸດ ໜຶ່ງ ທີ່ແນ່ນອນ.

ພາກທີ 3 ຂອງ 3: ເຂົ້າໃຈຄວາມສາມາດລວມ

1. ຮູ້ວ່າທ່ານສາມາດໃຊ້ການວິເຄາະເພື່ອຊອກຫາພື້ນທີ່ແລະບໍລິມາດທີ່ສັບສົນ. ດ້ວຍການວິເຄາະທ່ານສາມາດວັດແທກຮູບຮ່າງທີ່ສັບສົນຖ້າບໍ່ດັ່ງນັ້ນຍາກທີ່ຈະວັດ. ພິຈາລະນາ, ຍົກຕົວຢ່າງ, ບັນຫາທີ່ທ່ານຢາກຮູ້ວ່ານ້ ຳ ທະເລຍາວທີ່ມີຮູບຊົງບໍ່ສະ ໝໍ່າ ສະ ເໝີ ມີປະລິມານເທົ່າໃດ - ມັນບໍ່ສາມາດວັດແທກນ້ ຳ ທຸກລິດໄດ້ແຍກຕ່າງຫາກຫລືໃຊ້ໄມ້ບັນທັດເພື່ອວັດແທກຮູບຮ່າງຂອງທະເລສາບ. ດ້ວຍການວິເຄາະທ່ານສາມາດສຶກສາວ່າແຄມຂອງທະເລສາບມີການປ່ຽນແປງແນວໃດແລະຫຼັງຈາກນັ້ນ ນຳ ໃຊ້ຂໍ້ມູນນັ້ນເພື່ອຄົ້ນຫາວ່າມັນມີນ້ ຳ ຫຼາຍປານໃດ.
   • ການສ້າງແບບ ຈຳ ລອງເລຂາຄະນິດແລະການສຶກສາກ່ຽວກັບປະລິມານ ລວມ. ການຄິດໄລ່ແບບປະສົມປະສານແມ່ນສາຂາທີ່ ສຳ ຄັນອັນດັບສອງຂອງການວິເຄາະ.
2. ຮູ້ວ່າການລວມຕົວແມ່ນພື້ນທີ່ທີ່ຢູ່ຂ້າງລຸ່ມເສັ້ນສະແດງ. ການປະສົມປະສານແມ່ນໃຊ້ເພື່ອວັດພື້ນທີ່ຢູ່ລຸ່ມເສັ້ນ, ເຊິ່ງຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານສາມາດ ກຳ ນົດພື້ນທີ່ຂອງຮູບຊົງທີ່ແປກຫລືບໍ່ສະ ໝໍ່າ ສະ ເໝີ. ເອົາສົມຜົນ ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$ຮູ້ວ່າທ່ານຕ້ອງເລືອກພື້ນທີ່ທີ່ຈະລວມເຂົ້າກັນ. ທ່ານບໍ່ພຽງແຕ່ສາມາດເຊື່ອມໂຍງກັບ ໜ້າ ທີ່ທັງ ໝົດ ເທົ່ານັ້ນ. ຕົວ​ຢ່າງ, ${ displaystyle y = x}$ຄິດກ່ຽວກັບວິທີການຄິດໄລ່ພື້ນທີ່ຂອງຮູບສີ່ຫລ່ຽມ. ສົມມຸດວ່າທ່ານມີເສັ້ນແບນຢູ່ ເໜືອ ເສັ້ນສະແດງ, ເຊັ່ນ ${ displaystyle y = 4. }$ຮູ້ວ່າໃນການຄິດໄລ່ແບບເຊື່ອມໂຍງຫຼາຍໆສີ່ຫລ່ຽມນ້ອຍໆຖືກເພີ່ມເຂົ້າກັນເພື່ອຊອກຫາພື້ນທີ່ຂອງພື້ນທີ່. ເມື່ອທ່ານຂະຫຍາຍໂຄ້ງລົງຢ່າງຫລວງຫລາຍ, ມັນປະກົດວ່າເປັນເສັ້ນຊື່. ທ່ານເຫັນສິ່ງນີ້ທຸກໆມື້ - ທ່ານບໍ່ສາມາດຮັບຮູ້ວ່າເສັ້ນໂຄ້ງຂອງແຜ່ນດິນໂລກໄດ້ເພາະວ່າທ່ານຢູ່ໃກ້ພື້ນໂລກ. ການປະສົມປະສານຈະສ້າງ ຈຳ ນວນຮູບສີ່ຫລ່ຽມນ້ອຍໆທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງທີ່ມີຂະ ໜາດ ນ້ອຍຫຼາຍຈົນວ່າມັນເປັນພື້ນຖານ, ເຮັດໃຫ້ທ່ານສາມາດນັບພວກມັນໄດ້. ຮູບສີ່ແຈສາກທັງ ໝົດ ເຫຼົ່ານີ້ທີ່ເພີ່ມເຂົ້າມາລວມກັນສ້າງເປັນພື້ນທີ່ຂອງພື້ນທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ.
   • ສົມມຸດວ່າທ່ານເພີ່ມສ່ວນນ້ອຍໆຢູ່ຂ້າງລຸ່ມກຣາຟ, ແລະນັ້ນແມ່ນຄວາມກວ້າງຂອງແຕ່ລະຕອນ ເກືອບ​ທັງ​ຫມົດ ແມ່ນສູນ.
3. ຮູ້ວິທີການອ່ານແລະຂຽນເຊື່ອມໂຍງເຂົ້າກັນຢ່າງຖືກຕ້ອງ. ປະສົມປະສານປະກອບມີ 4 ພາກສ່ວນ. ການເຊື່ອມໂຍງແບບປົກກະຕິມີລັກສະນະດັ່ງນີ້:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ ຮຽນຮູ້ເພີ່ມເຕີມກ່ຽວກັບການຄົ້ນຫາສິ່ງ ສຳ ຄັນ. ການປະສົມປະສານແມ່ນມີຫຼາຍຮູບແບບ, ແລະທ່ານຕ້ອງຮຽນຮູ້ຫຼາຍສູດທີ່ແຕກຕ່າງກັນເພື່ອປະສົມປະສານແຕ່ລະ ໜ້າ ທີ່. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ພວກເຂົາທັງ ໝົດ ປະຕິບັດຕາມຫຼັກການທີ່ໄດ້ກ່າວມາຂ້າງເທິງ: ການລວມຕົວແມ່ນຜົນລວມຂອງ ຈຳ ນວນສິ່ງທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ.
   • ປະສົມປະສານໂດຍການທົດແທນ.
   • ການຄິດໄລ່ການເຊື່ອມໂຍງທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ.
   • ປະສົມປະສານໂດຍການແບ່ງປັນ.
4. ຮູ້ວ່າການລວມຕົວແມ່ນການຖອຍຫລັງຂອງຄວາມແຕກຕ່າງແລະກົງກັນຂ້າມ. ນີ້ແມ່ນກົດລະບຽບຂອງການວິເຄາະທີ່ມີຄວາມ ສຳ ຄັນຫຼາຍດັ່ງນັ້ນມັນໄດ້ຖືກຕັ້ງຊື່ໃຫ້ຕົນເອງວ່າ: ທິດສະດີຫຼັກຂອງການຄິດໄລ່ແບບລວມສູນ.ນັບຕັ້ງແຕ່ການເຊື່ອມໂຍງແລະຄວາມແຕກຕ່າງແມ່ນມີຄວາມກ່ຽວຂ້ອງຢ່າງໃກ້ຊິດ, ການປະສົມປະສານຂອງສອງສາມາດຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອກໍານົດອັດຕາການປ່ຽນແປງ, ການເລັ່ງ, ຄວາມໄວ, ສະຖານທີ່, ການເຄື່ອນໄຫວ, ແລະອື່ນໆ, ບໍ່ວ່າທ່ານຈະມີຂໍ້ມູນຫຍັງ.
   • ຍົກຕົວຢ່າງ, ຈື່ວ່າອະນຸພັນຂອງຄວາມໄວແມ່ນການເລັ່ງ, ດັ່ງນັ້ນທ່ານສາມາດໃຊ້ຄວາມໄວເພື່ອຊອກຫາການເລັ່ງ. ແຕ່ຖ້າທ່ານຮູ້ພຽງແຕ່ການເລັ່ງຂອງບາງສິ່ງບາງຢ່າງ (ເຊັ່ນວ່າວັດຖຸຫຼຸດລົງຍ້ອນແຮງໂນ້ມຖ່ວງ), ທ່ານກໍ່ສາມາດລວມເຂົ້າກັບຄວາມໄວໄດ້!
5. ຮູ້ວ່າດ້ວຍການລວມຕົວທ່ານຍັງສາມາດຄວບຄຸມປະລິມານຂອງວັດຖຸ 3D ໄດ້. ການ ໝູນ ຮູບຊົງແບນແມ່ນວິທີ ໜຶ່ງ ໃນການສ້າງທາດແຂງ 3D. ຈິນຕະນາການວ່າຫຼຽນ ໜຶ່ງ ຫມຸນຢູ່ເທິງໂຕະ - ສັງເກດເບິ່ງວ່າຫຼຽນມີລັກສະນະແນວໃດເພື່ອເອົາຮູບຊົງຂອງຈ່ອຍລົງໃນຂະນະທີ່ມັນ ໝຸນ. ແນວຄິດນີ້ຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານສາມາດ ກຳ ນົດປະລິມານຕາມຂະບວນການທີ່ເອີ້ນວ່າ "ປະລິມານໂດຍການ ໝູນ ວຽນ".
   • ສິ່ງນີ້ຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານສາມາດ ກຳ ນົດປະລິມານຂອງສິ່ງແຂງໄດ້, ຕາບໃດທີ່ທ່ານມີ ໜ້າ ທີ່ສະແດງມັນ. ຍົກຕົວຢ່າງ, ທ່ານສາມາດສ້າງ ໜ້າ ທີ່ທີ່ຕິດຕາມລຸ່ມຂອງທະເລສາບແລະຫຼັງຈາກນັ້ນໃຊ້ເພື່ອ ກຳ ນົດປະລິມານຂອງທະເລສາບ, ຫຼືວ່າມັນມີນ້ ຳ ຫຼາຍປານໃດ.

ຄຳ ແນະ ນຳ

• ການປະຕິບັດເຮັດໃຫ້ດີເລີດ, ສະນັ້ນເຮັດບົດຝຶກຫັດໃນປື້ມ ຕຳ ລາຮຽນຂອງທ່ານ - ແມ່ນແຕ່ອາຈານຂອງທ່ານກໍ່ຍັງບໍ່ໄດ້ໃຫ້ - ແລະກວດເບິ່ງ ຄຳ ຕອບຂອງທ່ານເພື່ອຊ່ວຍໃຫ້ທ່ານເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດທີ່ດີຂື້ນ.
• ຖ້າທ່ານບໍ່ສາມາດຫາວິທີແກ້ໄຂໄດ້, ໃຫ້ຖາມຄູຂອງທ່ານ.